[论文解读] The co-points are cut points of level sets for Busemann functions ∗†

Sorin V. Sabău|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2015

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明了在完备非紧致的芬斯勒流形中，射线上的共点与布塞曼函数水平集的切点集重合，将已知的切点集结果推广至芬斯勒几何。作者证明了在曲面上，共点集形成局部树状结构，将先前的研究成果扩展至芬斯勒与黎曼几何设定。

ABSTRACT

We show that the corays to a ray in a complete non-compact Finsler manifold contain geodesic segments to level sets of Busemann functions. Moreover, we characterize the set of co-points to a ray as the cut locus of such set levels. The structure theorem of the co-points set on a surface, namely that is a local tree, and other properties follows immediately from the known results about cut locus. We point out that our Main Theorems 1.1 and 1.2, first statement, are new even for Riemannian manifolds.

研究动机与目标

• 刻画完备非紧致芬斯勒流形中射线上的共点的几何结构。
• 建立共点与布塞曼函数水平集切点集之间的对应关系。
• 将关于切点集拓扑的已知结果——特别是曲面上的局部树状结构——推广至芬斯勒几何。
• 证明主要定理，尤其是定理1.1的第一部分与定理1.2的第一部分，在黎曼情形下也具有新颖性。

提出的方法

• 分析完备非紧致芬斯勒流形中从共射线到布塞曼函数水平集的测地线段。
• 利用已知的切点集理论，将共点集表征为这些水平集的切点集。
• 应用切点集的拓扑结果，推导出在曲面上共点集形成局部树状结构。
• 利用布塞曼函数及其水平集的内在几何性质，将共点与共轭点及切点联系起来。
• 通过保持关键几何与拓扑性质，将黎曼几何中的结果推广至芬斯勒流形。
• 利用射线与共射线的结构，通过变分法与度量方法定义并分析共点集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完备非紧致芬斯勒流形中，射线上的共点与布塞曼函数水平集的切点集之间有何关系？
• RQ2 在芬斯勒曲面上，共点集继承了何种拓扑结构？
• RQ3 黎曼几何中关于切点集的已知结果在多大程度上可推广至芬斯勒流形？
• RQ4 本文的主要定理——特别是定理1.1与定理1.2的第一部分——在黎曼情形下是否具有新颖性？
• RQ5 是否仅通过布塞曼函数的度量与几何性质，即可建立共点作为切点集的刻画？

主要发现

• 在完备非紧致芬斯勒流形中，射线的共点集与相应布塞曼函数水平集的切点集完全重合。
• 在芬斯勒曲面上，共点集形成局部树状结构，继承自切点集的拓扑性质。
• 主要结果，特别是定理1.2的第一部分与定理1.1，在黎曼流形中也具有新颖性。
• 已确立从共射线到布塞曼函数水平集的测地线段的存在性，作为基础几何性质。
• 将共点集刻画为切点集，使得可应用已知的切点集定理来分析共点集。
• 共点集的拓扑与几何结构完全由布塞曼函数水平集的切点集决定。