[论文解读] The cobordism category and Waldhausen's K-theory

Marcel Bökstedt, Ib Madsen|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 12

一句话总结

本文通过抽象横截性和 Gromov 的 h-原理，建立了 $k$-重范畴的 $d$-维流形在 $I^k \times \mathbb{R}^{d+n-k}$ 中的分类空间与 $G(d,n)$ 上标准 $n$-平面丛的 Thom 空间的 $\Omega^{d+n-k}$-重循环空间之间的同伦等价。该结果将 $\Omega$-谱 $MTO(d)$ 实现为与 cobordism 范畴相关的无限循环空间，并构造了到 Waldhausen 的 $BO(d)$ 的 $A$-理论的无限循环映射。

ABSTRACT

This paper examines the category C^k_{d,n} whose morphisms are d-dimensional smooth manifolds that are properly embedded in the product of a k-dimensional cube with an (d+n-k)-dimensional Euclidean space. There are k directions to compose k-dimensional cubes, so C^k_{d,n} is a (strict) k-tuple category. The geometric realization of the k-dimensional multi-nerve is the classifying space BC^k_{d,n}. At the end of the paper we construct an infinite loop map to Waldhausens K-theory. ΩBC^1_{d,n}-> A(BO(d)), We believe that the map factors through Ω^\inftyΣ^\infty(BO(d)_+) and that the composite B{Diff}(M^d) o A(BO(d)) is homotopic to the map considered by Dwyer, Williams and Weiss.

研究动机与目标

• 建立嵌入的 $d$-流形的 $k$-重范畴的分类空间与一个 Thom 空间构造之间的同伦等价。
• 在 $n \to \infty$ 时，将 $\Omega$-谱 $MTO(d)$ 几何实现为与 cobordism 范畴相关的无限循环空间。
• 从 $\Omega B{\cal C}^1_{d,n}$ 构造一个到 Waldhausen 的 $BO(d)$ 的 $A$-理论的无限循环映射，且与文献中已知的映射相容。
• 证明 $\mathbb{R}^{d+n}$ 中具有到 $\mathbb{R}^k$ 的适当投影的适当嵌入 $d$-流形空间的度量性，从而支持在证明中使用同伦论工具。

提出的方法

• 引入与临界对 $(X,Z)$ 关联的单纯空间 $K_\bullet(X,Z)$，其中 $Z \subset X \times \mathbb{R}^k$ 是非横截方向的闭集。
• 在测度论横截性条件下，利用抽象横截性定理证明 $|K_\bullet(X,Z)| \xrightarrow{\sim} X$ 是同伦等价。
• 将此方法应用于空间 $D^k_{d,n} \subset \Psi_d(\mathbb{R}^{d+n})$，即具有到 $\mathbb{R}^k$ 的适当投影的适当嵌入 $d$-流形，其中 $Z^k_{d,n}$ 编码与坐标超平面的非横截性。
• 利用 Gromov 的一般 h-原理，证明 $D^k_{d,n} \simeq \Omega^{d+n-k} \mathrm{Th}(U^\perp_{d,n})$，从而确立主要的同伦等价。
• 从 cobordism 范畴的奇异单纯复形到 Grassmannian 的迭代 $S_\bullet$-构造，构造一个多重单纯映射 $\tau^k$，以实现无限循环结构。
• 证明当 $n = \infty$ 时，所得映射 $\Omega B{\cal C}^1_{d,n} \to A(BO(d))$ 是一个无限循环映射，且与 $A$-理论中已知的构造相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 嵌入在 $I^k \times \mathbb{R}^{d+n-k}$ 中的 $d$-维 cobordism 的 $k$-重范畴的分类空间 $B{\cal C}^k_{d,n}$ 的同伦类型是什么？
• RQ2 通过抽象横截性，具有到 $\mathbb{R}^k$ 的适当投影的 $\mathbb{R}^{d+n}$ 中适当嵌入的 $d$-流形空间是否同伦等价于一个 Thom 空间？
• RQ3 cobordism 范畴与 Waldhausen 的 $BO(d)$ 的 $A$-理论之间有何关系？能否从其分类空间构造一个无限循环映射？
• RQ4 在嵌入流形空间的拓扑中，度量性起什么作用？它如何支持同伦论论证？
• RQ5 从 $\Omega B{\cal C}^1_{d,n}$ 到 $A(BO(d))$ 的映射是否为无限循环映射？它是否因子化为 $\Omega^\infty \Sigma^\infty (BO(d)_+)$？

主要发现

• 分类空间 $B{\cal C}^k_{d,n}$ 同伦等价于 $\Omega^{d+n-k} \mathrm{Th}(U^\perp_{d,n})$，其中 $U^\perp_{d,n}$ 是 $G(d,n)$ 上的 $n$-维标准丛，从而建立了精确的同伦论描述。
• $D^k_{d,n}$（具有到 $\mathbb{R}^k$ 的适当投影的适当嵌入 $d$-流形空间）通过单纯空间构造 $K_\bullet(D^k_{d,n}, Z^k_{d,n})$ 同伦等价于 $B{\cal C}^k_{d,n}$。
• 无限循环空间 $MTO(d)$ 被实现为谱 $\{B{\cal C}^k_{d,\infty}\}_{k=1}^\infty$，为 $MTO(d)$ 谱提供了几何模型。
• 当 $n = \infty$ 时，映射 $\Omega B{\cal C}^1_{d,n} \to A(BO(d))$ 是一个无限循环映射，且猜想其因子化为 $\Omega^\infty \Sigma^\infty (BO(d)_+)$。
• 通过 cobordism 范畴的奇异单纯复形与 Grassmannian 的 $S_\bullet$-构造上的多重单纯结构构造映射 $\tau^k$，确认了无限循环结构。
• 在 §4 中建立了 $\Psi_d(\mathbb{R}^{d+n})$ 和 $D^k_{d,n}$ 的度量性，从而支持使用同伦论工具（如抽象横截性定理）。