[论文解读] The coding of compact real trees by real valued functions

Thomas Duquesne|ArXiv.org|Apr 5, 2006

Algorithms and Data Compression被引用 30

一句话总结

本文建立了带有根、线性序和相容测度的紧致实树与定义在有限区间 [0,M] 上的非负、左连续且具有右极限的函数之间的一一对应关系，这些函数在零处为零且无正跃迁。关键贡献在于通过一种最小化回溯的唯一高度过程，对这类结构化树进行规范编码，并表明测度变化对应于编码函数的重参数化。

ABSTRACT

This paper is a detailled study of the coding of real trees by real valued functions that is motivated by probabilistic problems related to continuum random trees. Indeed it is known since the works of Aldous (1993) and Le Gall (1991) that a continuous non-negative function $h$ on $[0,1]$ such that $h(0)=0$ can be seen as the contour process of a compact real tree. This particular coding of a compact real tree provides additional structures, namely a root that is the vertex corresponding to $0\in [0,1]$, a linear order inherited from the usual order on $[0,1]$ and a measure induced by the Lebesgue measure on $[0,1]$; of course, the root, the linear order and the measure obtained by such a coding have to satisfy some compatibility conditions. In this paper, we prove that any compact real tree equipped with a root, a linear order and a measure that are compatible can be encoded by a non-negative function $h$ defined on a finite interval $[0, M]$, that is assumed to be left-continuous with right-limit, without positive jump and such that $h(0+)=h(0)=0$. Moreover, this function is unique if we assume that the exploration of the tree induced by such a coding backtracks as less as possible. We also prove that a measure-change on the tree corresponds to a re-parametrization of the coding function. In addition, we describe several path-properties of the coding function in terms of the metric properties of the real tree.

研究动机与目标

• 表征可由实值函数编码的紧致实树（带根、线性序和测度）的条件。
• 建立一种最小化回溯的规范且唯一的编码函数。
• 表明树上测度的变化对应于编码函数的重参数化。
• 将编码函数的路径性质与底层实树的度量和几何特征相关联。
• 统一并推广现有的连续随机树编码方法，包括布朗运动CRT和Lévy树。

提出的方法

• 将带结构的紧致实树定义为带有根、从 [0,M] 导出的线性序，以及与树的拓扑相容的Borel测度的度量空间。
• 将编码函数 h(t) 定义为在树的深度优先探索过程中，时间 t 所探索点到根的距离。
• 对 h 施加条件：非负性、左连续且具有右极限、h(0+)=h(0)=0，且无正跃迁。
• 通过要求最小化回溯（即探索尽可能向前推进）来证明编码函数的唯一性。
• 使用高度过程作为编码函数的规范代表，将其与轮廓过程及Lévy过程的局部时相联系。
• 建立树上测度变化诱导编码函数 h 的重参数化，且保持树的等距同构类不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些带有根、线性序和相容测度的紧致实树可由实值函数编码？
• RQ2 何种条件可确保此类编码函数的存在性与唯一性？
• RQ3 编码函数的路径性质（如连续性、变差）如何反映树的几何结构？
• RQ4 树上测度的变化如何影响编码函数？
• RQ5 在CRT或Lévy树等随机树的背景下，高度过程为何是编码函数的规范代表？

主要发现

• 任何带有根、线性序和相容测度的紧致实树均可唯一编码为定义在 [0,M] 上的非负、左连续且具有右极限的函数，该函数在零处为零且无正跃迁。
• 最小化回溯的唯一编码函数恰好对应于树探索过程的高度过程。
• 树上测度的变化诱导编码函数的重参数化，且保持树的等距同构类不变。
• 编码函数的路径性质（如连续性、无限变差）对应于树的度量性质，如测度无原子性或骨架的测度为零。
• 该编码方法统一并推广了已知构造，包括CRT的布朗桥和Lévy树的高度过程。
• 对于路径具有无限变差的Lévy过程，所诱导的树具有非原子测度且骨架测度为零，且均匀洗牌顺序下的高度函数是连续的，尽管其分布通常难以处理，除布朗运动情形外。