[论文解读] The cohomological Brauer group of a toric variety

Frank DeMeyer, Tim Ford+1 more|ArXiv.org|Feb 19, 1992

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 13

一句话总结

本文利用平展上同调计算了射影代数簇的上同调 Brauer 群，表明其同构于除子类群的挠子群模去由 torus-不变除子生成的子群。该结果完整描述了取值于单位层的第二个平展上同调群，利用了扇形的组合结构以及射影代数簇中仿射开子集的分次环结构。

ABSTRACT

Toric varieties are a special class of rational varieties defined by equations of the form {\it monomial = monomial}. For a good brief survey of the history and role of toric varieties see [10]. Any toric variety $X$ contains a cover by affine open sets described in terms of arrangements (called fans) of convex bodies in $\Bbb R^r$. The coordinate rings of each of these affine open sets is a graded ring generated over the ground field by monomials. As a consequence, toric varieties provide a good context in which cohomology can be calculated. The purpose of this article is to describe the second étale cohomology group with coefficients in the sheaf of units of any toric variety $X$. This is the so-called cohomological Brauer group of $X$.

研究动机与目标

• 确定任意射影代数簇上取值于单位层的第二个平展上同调群的结构。
• 描述上同调 Brauer 群，该群对射影代数簇上的 Azumaya 代数模 Morita 等价关系进行分类。
• 利用射影代数簇的组合性质——由 R^r 中的扇形定义——显式计算上同调不变量。
• 将上同调 Brauer 群与除子类群及由 torus-不变 Weil 除子生成的子群联系起来。
• 利用仿射开子集的分次环结构，提供上同调 Brauer 群的完整且显式的描述。

提出的方法

• 作者使用射影代数簇的扇形描述，将该簇分解为对应于扇形中锥的仿射开子集。
• 每个仿射开子集的坐标环是基域上由单项式生成的分次环，从而能够进行显式上同调计算。
• 利用 Mayer-Vietoris 族谱序列及扇形的面格结构计算平展上同调群。
• 将上同调 Brauer 群识别为除子类群的挠子群模去由 torus-不变 Weil 除子生成的子群。
• 计算依赖于单位层在射影代数簇上的结构是明确的，这是由于坐标环的单项式性质。
• 最终结果通过分析与指数序列相关的平展上同调的长正合序列及扇形的组合数据推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 射影代数簇上取值于单位层的第二个平展上同调群的结构是什么？
• RQ2 上同调 Brauer 群与射影代数簇的除子类群有何关系？
• RQ3 能否利用扇形的组合数据显式计算上同调 Brauer 群？
• RQ4 torus-不变除子在确定射影代数簇的 Brauer 群中起什么作用？
• RQ5 射影代数簇的上同调 Brauer 群是否同构于除子类群的子群？

主要发现

• 射影代数簇的上同调 Brauer 群同构于除子类群的挠子群模去由 torus-不变 Weil 除子生成的子群。
• 利用扇形结构显式计算了取值于单位层的第二个平展上同调群 H^2(X, G_m)。
• 计算表明 Brauer 群是有限且挠的，反映了射影代数簇的有理性和组合性质。
• 该结果在代数闭域上特征为零的任意射影代数簇上成立，基于本文的假设。
• 当且仅当除子类群是挠自由且由 torus-不变除子生成时，上同调 Brauer 群为零。
• 该方法仅利用扇形的组合结构及仿射开子集的分次环结构，提供了 Brauer 群的完整且算法化的描述。