[论文解读] The cohomology of Bestvina-Brady groups

Ian J. Leary, Müge Saadetoğlu|ArXiv.org|Nov 30, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文计算了环面子复形的无限循环覆叠的整同调与上同调环，具体针对右截角阿廷群到 ℤ 的映射的核所构成的 Bestvina-Brady 群。本文确定了这些群在任意环上的上同调维数，表明其依赖于定义旗复形的同伦型，并且可随系数环的选择而变化，从而解决了这些群的关键有限性性质问题。

ABSTRACT

For each subcomplex of the standard CW-structure on any torus, we compute the homology of a certain infinite cyclic regular covering space. In all cases when the homology is finitely generated, we also compute the cohomology ring. For aspherical subcomplexes of the torus our computation gives the homology and cohomology of Bestvina-Brady groups. We compute the cohomological dimension of each of these groups over any field and over any subring of the rationals.

研究动机与目标

• 计算与每个环面子复形 $T_L$ 相关的无限循环覆叠 $\widetilde{T}_L$ 的同调与上同调环。
• 确定 Bestvina-Brady 群 $H_L$ 在任意非平凡环 $R$ 上的上同调维数。
• 刻画 $\widetilde{T}_L$ 的 $R$-同调作为 $R$-模时有限生成的条件。
• 澄清上同调维数对系数环 $R$ 的依赖关系，特别是当 $R$ 为域或 $\mathbb{Q}$ 的子环时。

提出的方法

• 对每个顶点集为 $V$ 的单纯复形 $L$，构造子复形 $T_L \subset T(V)$，即指标为 $V$ 的圆周的积，并考虑由 $T(V)$ 上的积映射诱导的胞腔映射 $\mu_L: T_L \to \mathbb{T}$。
• 研究通过 $\mu_L$ 拉回 $\mathbb{T}$ 的万有覆叠而得到的无限循环正则覆叠空间 $\widetilde{T}_L$，其为 $\mathbb{Z}$-覆叠。
• 利用胞腔同调，并利用 $T_L$ 的胞腔链复形中微分为零的事实，将 $H_*(\widetilde{T}_L; R)$ 计算为 $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$-模。
• 应用普遍系数定理，并利用 PID 上投射模的性质，分析当 $L$ 为 $R$-列维时 $H^*(\widetilde{T}_L; R)$。
• 利用 $H_L = \pi_1(\widetilde{T}_L)$ 是右截角阿廷群 $G_L$ 关于 $L$ 的映射 $\mu_*$ 的核这一事实，将 $H_L$ 的上同调维数与 $L$ 的拓扑联系起来。
• 利用旗复形条件与 Hurewicz 定理，构造包含 $L$ 的 $R$-列维旗复形 $K$，以分析 $H_L$ 的上同调维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非平凡环 $R$，$\widetilde{T}_L$ 的 $R$-同调作为 $R$-模何时有限生成？
• RQ2 Bestvina-Brady 群 $H_L$ 在任意环 $R$ 上的上同调维数是多少？
• RQ3 上同调维数如何依赖于系数环 $R$ 的选择，特别是当 $R$ 为域或 $\mathbb{Q}$ 的子环时？
• RQ4 在何种条件下，复形 $L$ 的上同调环 $H^*(\widetilde{T}_L; R)$ 可被完全确定？
• RQ5 平凡上同调维数与 $H_L$ 的上同调维数之间存在何种关系？

主要发现

• 当且仅当 $L$ 有限且 $R$-列维时，$\widetilde{T}_L$ 的 $R$-同调作为 $R$-模有限生成。
• 对任意 $R$-列维 $L$，上同调环 $H^*(\widetilde{T}_L; R)$ 完全由 $L$ 的上同调与 $R$ 的作用描述。
• 若存在 $R$-模 $A$ 使得 $H^n(L; A) \neq 0$，则 $H_L$ 在 $R$ 上的上同调维数为 $n+1$；否则为 $n$，其中 $n = \dim(L)$。
• 与右截角阿廷群 $G_L$ 的情形不同，$H_L$ 的上同调维数可随系数环 $R$ 的选择而变化。
• 平凡上同调维数与 $H_L$ 的上同调维数相等，从而解决了关于这些群有限性性质的一个问题。
• 举例表明，当某个整数 $m$ 在 $R$ 中为可逆元时，$\mathrm{cd}_R(H_L)$ 可为 2 或 3，展示了上同调维数对环的依赖性。