[论文解读] The Cohomology of the Ordinals I: Basic Theory and Consistency Results

Jeffrey Bergfalk, Chris Lambie‐Hanson|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文引入Čech上同调作为序数上无穷组合数学的统一框架，表明高维上同调群推广了Todorcevic的行走路径与一致序列。研究发现，序数上的非平凡上同调群与大基数不相容，但在Gödel的可构造宇宙L中达到最大存在性，将其定位为分级的非紧致性原理。

ABSTRACT

In this paper, the first in a projected two-part series, we describe an organizing framework for the study of infinitary combinatorics. This framework is Čech cohomology. We show in particular that the Čech cohomology groups of the ordinals articulate higher-dimensional generalizations of Todorcevic's walks and coherent sequences techniques, and begin to account for those techniques' `unreasonable effectiveness' on $ω_1$. This discussion occupies the first half of our paper and is written with a general mathematical audience in mind. We turn in the paper's second half to more properly set-theoretic considerations. We describe a number of consistency results on the cohomology groups of the ordinals which certify their status as a graded family of incompactness principles. We show in particular that nontrivial cohomology groups on the ordinals are in some tension with large cardinals, and are maximally extant in Gödel's model $\mathrm{L}$. We describe forcings to add, then trivialize, nontrivial $n$-cocycles, and conclude with some comparison of these principles with those benchmark incompactness phenomena, the existence of square sequences and failures of stationary reflection.

研究动机与目标

• 开发一个上同调框架，以理解序数上高维组合现象。
• 证明序数上的Čech上同调群推广并解释了Todorcevic在ω₁上行走路径与一致序列的有效性。
• 分析非平凡上同调群的一致性强度，特别是其在大基数假设下的行为。
• 证明非平凡上同调在Gödel的可构造宇宙L中达到最大存在性，且在强紧致性或弱紧致性下消失。
• 将上同调非紧致性原理与经典原理（如square序列和静止反射失败）进行比较。

提出的方法

• 使用常值层A_d的Čech上同调，形式化一致性和行走路径的高维推广。
• 定义序数上的n-一致函数族，并证明其精确对应于非平凡的Čech上同调群Ȟⁿ(ξ, A_d)。
• 应用力迫技术添加非平凡的n-上循环并使其平凡化，构造出上同调消失或持续存在的模型。
• 使用Lévy强紧致基数的坍塌，迫使Ȟⁿ(λ)对所有正则λ > ωₙ为零。
• 利用P-理想二分法，迫使Ȟ¹(λ)对所有正则λ > ω₁为零。
• 分析上同调在力迫扩张下的行为，特别是当在P × P上力迫且满足共因子约束时，非平凡n-一致性是否被保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大基数相对一致性下，是否对所有阿贝尔群A和所有正则λ > ωₙ（当n > 1时）有Ȟⁿ(λ, A_d) = 0？
• RQ2 当cf(δ) ≥ ωₙ时，能否保证在P × P上力迫下非平凡n-一致族的保持？
• RQ3 上同调非紧致性原理Ȟⁿ(λ, A_d)与square序列和静止反射失败相比，强度如何？
• RQ4 对于n > 1，序数的上同调在多大程度上反映了ωₙ的结构？
• RQ5 定理3.12的结果能否推广到非弱紧致基数的更高上同调维数？

主要发现

• 对于任意正则基数λ > ωₙ，若λ是弱紧致的，或大于等于强紧致基数，则上同调群Ȟⁿ(λ, A_d)为零。
• 在Gödel的可构造宇宙L中，Ȟⁿ(λ, A_d)在可能非平凡的所有情况下均为非平凡，即对所有满足cf(λ) > ωₙ的正则λ > ωₙ。
• 使用强紧致基数的Lévy坍塌至ω₃，可迫使对所有阿贝尔群A和所有λ ≥ κ，有Ȟ²(λ, A_d) = 0。
• 存在力迫概念可添加非平凡n-一致函数族，从而添加非平凡的Ȟⁿ(λ, A_d)。
• 也存在力迫概念可使此类n-一致族平凡化，表明非平凡上同调并非绝对。
• 上同调非紧致性原理Ȟⁿ(λ, A_d)与大基数存在张力，且在L中达到最大存在性，表明其与可构造性有强烈关联。