[论文解读] The cohomology rings of regular nilpotent Hessenberg varieties in Lie type A

Hiraku Abe, Megumi Harada+2 more|Osaka City University (Osaka City University)|Dec 30, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 35被引用 12

一句话总结

本文通過依賴於 Hessenberg 函數 h 的生成元與關係，提供了 A 型中正則幂零 Hessenberg 積疊的有理上同調環的完整且明確的陳述。它證明了正則幂零 Hessenberg 積疊的上同調環與相應正則半單 Hessenberg 積疊的上同調環中 S_n 不變子環之間的同構，從而在此特殊情況下建立了比近期 Shareshian-Wachs 猜想證明更強的結果。

ABSTRACT

Let $n$ be a fixed positive integer and $h: \{1,2,\ldots,n\} ightarrow \{1,2,\ldots,n\}$ a Hessenberg function. The main results of this paper are twofold. First, we give a systematic method, depending in a simple manner on the Hessenberg function $h$, for producing an explicit presentation by generators and relations of the cohomology ring $H^\ast(Hess(\mathsf{N},h))$ with $\mathbb{Q}$ coefficients of the corresponding regular nilpotent Hessenberg variety $Hess(\mathsf{N},h)$. Our result generalizes known results in special cases such as the Peterson variety and also allows us to answer a question posed by Mbirika and Tymoczko. Moreover, our list of generators in fact forms a regular sequence, allowing us to use techniques from commutative algebra in our arguments. Our second main result gives an isomorphism between the cohomology ring $H^*(Hess(\mathsf{N},h))$ of the regular nilpotent Hessenberg variety and the $S_n$-invariant subring $H^*(Hess(\mathsf{S},h))^{S_n}$ of the cohomology ring of the regular semisimple Hessenberg variety (with respect to the $S_n$-action on $H^*(Hess(\mathsf{S},h))$ defined by Tymoczko). Our second main result implies that $\mathrm{dim}_{\mathbb{Q}} H^k(Hess(\mathsf{N},h)) = \mathrm{dim}_{\mathbb{Q}} H^k(Hess(\mathsf{S},h))^{S_n}$ for all $k$ and hence partially proves the Shareshian-Wachs conjecture in combinatorics, which is in turn related to the well-known Stanley-Stembridge conjecture. A proof of the full Shareshian-Wachs conjecture was recently given by Brosnan and Chow, but in our special case, our methods yield a stronger result (i.e. an isomorphism of rings) by more elementary considerations. This paper provides detailed proofs of results we recorded previously in a research announcement.

研究动机与目标

• 提供 A 型李群中正則幂零 Hessenberg 積疊的有理上同調環的系統性、明確陳述，使用生成元與關係。
• 推廣特殊情況（如 Peterson 積疊）的已知結果，並解決 Mbirika 與 Tymoczko 提出的問題。
• 建立正則幂零 Hessenberg 積疊的上同調環與相應正則半單 Hessenberg 積疊的上同調環中 S_n 不變子環之間的環同構。
• 透過以明確且初等的方法部分證明 Shareshian-Wachs 猜想，為組合 Stanley-Stembridge 猜想作出貢獻。

提出的方法

• 作者構造了係數為 Q 的上同調環 H*(Hess(N,h)) 的明確生成元集合，其中生成元直接且簡單地依賴於 Hessenberg 函數 h。
• 他們證明生成元集合構成正則序列，從而可在上同調分析中使用交換代數技術。
• 使用某類多項式 f_{i,j}(w) 的遞歸定義，將生成元與初等對稱多項式及變數 u_j 關聯起來。
• 主要同構的證明依賴於對配對 (i,j) 的詳細歸納論證，利用初等對稱多項式性質與 f_{i,j}(w) 函數的遞歸結構。
• 作者使用 Tymoczko 對正則半單 Hessenberg 積疊上同調環的 S_n 作用來定義不變子環，並建立同構。
• 關鍵技術步驟在於證明一個生成函數恆等式（公式 A.3），將 f_{i,j}(w) 與初等對稱多項式及 b_{k,j} 生成元的和關聯起來。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以僅依賴於 Hessenberg 函數 h 的生成元與關係，給出 A 型正則幂零 Hessenberg 積疊上同調環的統一且明確的陳述？
• RQ2 正則幂零 Hessenberg 積疊的上同調環是否同構於相應正則半單 Hessenberg 積疊上同調環中 S_n 不變子環？
• RQ3 上同調環的結構如何與 Shareshian-Wachs 對色圖 quasi-對稱函數與 S_n 表示的猜想相關？
• RQ4 已知正則幂零與半單 Hessenberg 積疊的 Betti 數相等，此結果能否在該設定中加強為環同構？
• RQ5 是否存在一種系統性方法，用以計算正則幂零 Hessenberg 積疊的上同調環，並推廣至 Peterson 積疊的情形？

主要发现

• 上同調環 H*(Hess(N,h)) 可透過僅依賴於 Hessenberg 函數 h 的生成元與關係，明確陳述。
• 生成元集合構成正則序列，使得以應用交換代數工具，如 Koszul複形與正則序列技術。
• H*(Hess(N,h)) 與 H*(Hess(S,h))^{S_n} 之間存在環同構，此同構意味著所有次數的 Betti 數相等。
• 此同構提供了比近期 Shareshian-Wachs 猜想證明更強的結果，因其建立的是環同構，而非僅 Betti 數相等。
• 此結果部分證明了 Shareshian-Wachs 猜想，並在正則幂零 Hessenberg 積疊的特殊情況下提供了更初等、幾何化的證明。
• 本文解決了 Mbirika 與 Tymoczko 關於正則幂零 Hessenberg 積疊上同調環結構的提問。