[论文解读] The common solutions to pseudomonotone equilibrium problems

Dang Van Hieu|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文提出了两种迭代算法——并行混合外梯度-切削法与循环混合外梯度-切削法——用于求解涉及伪单调双变量函数的平衡问题的公共解（CSEP）。这些算法将现有的外梯度方法扩展至处理伪单调性，确保在标准假设下于实希尔伯特空间中强收敛至解。

ABSTRACT

In this paper, we propose two iterative methods for finding a common solution of a finite family of equilibrium problems for pseudomonotone bifunctions. The first is a parallel hybrid extragradient-cutting algorithm which is extended from the previously known one for variational inequalities to equilibrium problems. The second is a new cyclic hybrid extragradient-cutting algorithm. In the cyclic algorithm, using the known techniques, we can perform and develop practical numerical experiments.

研究动机与目标

• 开发高效的迭代算法，用于寻找涉及多个伪单调双变量函数的平衡问题（CSEP）的公共解。
• 将外梯度方法从变分不等式推广至在较弱伪单调性假设下的平衡问题。
• 确保迭代序列在实希尔伯特空间中强收敛至解集。
• 提供可使用已知投影技术实现的实用数值方案，尤其适用于大规模问题。
• 将现有关于凸可行性、不动点和变分不等式问题的结果统一并推广为CSEP的特例。

提出的方法

• 提出一种并行混合外梯度-切削算法，通过交替求解两个使用伪单调双变量函数的强凸子问题。
• 采用循环选择策略，其中索引 $[n]$ 循环遍历 $1, \dots, N$，以按顺序处理该族中的每个双变量函数。
• 通过基于内积不等式的半空间 $H_n$ 和 $W_n$ 的投影步骤，确保收敛至解集。
• 应用显式投影公式 $x_{n+1} = P_{H_n \cap W_n}(x_0)$，其闭式表达式由 $v_n = x_n + \gamma_n(z_n - x_n)$ 推导得出。
• 实施松弛参数 $\lambda_n$ 和 $\gamma_n$，满足 $0 < \lambda \leq \lambda_n \leq \mu < 1/L$ 与 $0 < \epsilon \leq \gamma_n \leq 1/2$，以保证收敛。
• 依赖混合方法框架以保持可行性，并通过连续投影确保强收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将外梯度方法扩展至具有伪单调双变量函数的平衡问题，其中由于缺乏强单调性，标准正则化方法失效？
• RQ2 如何设计并行与循环算法，以高效求解多个伪单调双变量函数的平衡问题公共解（CSEP）？
• RQ3 步长与参数的何种条件可确保迭代序列强收敛至解集？
• RQ4 所提出的算法能否使用已知的投影技术实际实现，尤其适用于较大的 $N$？
• RQ5 所提出的算法如何推广现有关于凸可行性、不动点与变分不等式问题的结果？

主要发现

• 在伪单调性与标准连续性假设下，并行混合外梯度-切削算法强收敛至 $P_F(x_0)$，即初始点 $x_0$ 到解集 $F$ 的投影。
• 当应用于满足利普希茨连续性与有界性条件的伪单调算子 $A_i$ 时，循环算法确保强收敛至 $P_{\bar{F}}(x_0)$。
• 收敛速率由 $\|x_{n+1} - x_n\| \to 0$，$\|y_n - x_n\| \to 0$，以及 $\|z_n - x_n\| \to 0$ 描述，当 $n \to \infty$ 时，表明具有渐近稳定性。
• 推导出 $x_{n+1}$ 的显式投影公式，使得可通过向量运算与内积实现实际应用。
• 当 $N=1$ 时，该方法退化为 [20] 中的已知结果，证实与先前关于单调变分不等式的工作一致。
• 该方法对大规模 $N$ 具有鲁棒性，因为循环结构允许顺序处理，且可通过 [23] 中的技术进行数值实验。