[论文解读] The Common Structure For Objects In Aperiodic Order And The Theory Of Local Matching Topology

Yasushi Nagai|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过引入广义的抽象图案空间，为非周期序建立了一个统一的拓扑框架，该框架推广了镶嵌、Delone集及其他非周期对象。它在这些空间上定义了局部匹配拓扑和一致结构，在较弱条件下证明了Hausdorff分离性与完备性，并表明有限局部复杂性（FLC）蕴含连续壳的紧致性——将欧几里得空间中的一个关键结果推广到了具群作用的一般度量空间。

ABSTRACT

In aperiodic order, non-periodic but "ordered" objects such as tilings, Delone sets, functions and measures are investigated. In this article we depict the common structure of these objects by using the general framework of abstract pattern spaces. In particular, using the common structure we define local matching topology and uniform structure for objects such as tilings in quite a general space and a symmetry group. We prove Hausdorff property of the topology and the completeness of the uniform structure under a mild assumption. We also prove finite local complexity implies the compactness of the continuous hull and often the converse holds.

研究动机与目标

• 将镶嵌、Delone集及函数等非周期对象的研究统一于同一数学结构之下。
• 在抽象图案空间上定义基于欧几里得空间中已有构造的局部匹配拓扑与一致结构。
• 在较弱假设下证明局部匹配一致结构的Hausdorff性质与完备性。
• 在该一般设定下建立有限局部复杂性（FLC）蕴含连续壳紧致性的结论。
• 在附加条件下表明连续壳的紧致性通常蕴含FLC，从而建立其逆命题。

提出的方法

• 通过截断操作与群作用公理化非周期对象的共同结构特征，定义抽象图案空间。
• 基于紧致集与对称群Γ中的邻域，利用一致邻域定义局部匹配拓扑。
• 通过基一致邻域U_{K,V} = {(P,Q) | P∧K = γ(Q∧K) 对某个γ ∈ V} 定义局部匹配一致结构，其中K ⊂ X为紧致集，V ⊂ Γ为邻域。
• 在较弱假设下证明该拓扑为Hausdorff（命题3.7）且可度量化（推论3.8）。
• 利用对角化论证，证明在抽象图案空间子空间上局部匹配一致结构的完备性（定理3.19）。
• 利用完备性与总有界性，证明FLC蕴含连续壳的紧致性（定理3.25）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在较弱假设下，抽象图案空间上的局部匹配拓扑是否为Hausdorff拓扑？
• RQ2 当环境空间为具适当群作用的完备度量空间时，局部匹配一致结构在抽象图案空间上是否完备？
• RQ3 在该一般框架中，有限局部复杂性（FLC）是否蕴含连续壳的紧致性？
• RQ4 在附加条件下，连续壳的紧致性是否能蕴含FLC？
• RQ5 局部可导性如何影响FLC与连续壳紧致性的继承性？

主要发现

• 在较弱假设下，抽象图案空间上的局部匹配拓扑是Hausdorff的，确保了拓扑分离性。
• 当群作用适当且空间完备时，抽象图案空间子空间上的局部匹配一致结构是完备的。
• 在局部匹配拓扑下，有限局部复杂性（FLC）蕴含连续壳的紧致性，将已知的R^d中的结果推广至一般度量空间。
• 在附加假设（即对每个紧致K ⊂ X，集合A(P∧K)有限）下，连续壳的紧致性蕴含FLC。
• 对于在Γ作用下仅有有限类别的Delone集与镶嵌，FLC与连续壳的紧致性等价。
• 该结果将经典中FLC与壳紧致性之间的等价性从欧几里得空间推广至具等距群作用的一般完备度量空间。