[论文解读] The Commutation Relation for Cavity Mode Operators

Fesseha Kassahun|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Photonic and Optical Devices被引用 7

一句话总结

本文推导了在受驱动的腔与两能级原子相互作用时，腔模算符的修正对易关系，表明标准的 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$ 仅在自由腔模下成立。与原子及热库噪声的相互作用导致非平凡的修正项，结果为 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1 + \frac{\gamma_c^2}{8\varepsilon^2 + \kappa\gamma_c}$，其中 $\gamma_c = 4g^2/\kappa$。结果表明，在强原子-腔耦合下，通常的对易关系会失效。

ABSTRACT

We have obtained the commutation relation for a cavity mode driven by coherent light and interacting with a two-level atom. We have found that the commutation relation for a free cavity mode with or without photons is just the usual commutation relation. However, the commutation relation for a cavity mode, which is interacting with a two-level atom, turns out to be different from the usual one.

研究动机与目标

• 研究当腔模与两能级原子相互作用并受相干光驱动时，标准对易关系 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$ 是否仍然成立。
• 考察真空热库噪声与原子-腔耦合对腔模算符对易关系的影响。
• 确定叠加算符 $\hat{c} = \hat{a} + i\hat{b}$ 在何种条件下保持标准对易关系。
• 推导一个考虑了原子相互作用与耗散效应的修正对易关系。

提出的方法

• 构建包含腔-原子相互作用 ($ig(\hat{\sigma}^\dagger\hat{a} - \hat{a}^\dagger\hat{\sigma})$) 与腔-驱动相互作用 ($i\lambda(\hat{b}\hat{a}^\dagger - \hat{b}^\dagger\hat{a})$) 的总哈密顿量。
• 使用含噪声算符 $\hat{F}(t)$ 的量子朗之万方程描述 $\hat{a}(t)$ 的时间演化，引入阻尼 ($\kappa$) 与噪声。
• 采用长时间近似求解 $\langle\hat{\sigma}\rangle$ 与 $\langle\hat{\eta}_a\rangle$ 的耦合非线性方程，假设原子算符与噪声算符统计独立。
• 通过结合期望值与噪声项，推导稳态对易子 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger]$，得到与 $\gamma_c^2 / (8\varepsilon^2 + \kappa\gamma_c)$ 成正比的修正项。
• 定义叠加算符 $\hat{c} = \hat{a} + i\hat{b}$，并在模式互不相关假设下分析 $[\hat{c}, \hat{c}^\dagger]$。
• 强制要求 $\langle\hat{a}^\dagger\hat{b}\rangle - \langle\hat{b}^\dagger\hat{a}\rangle = 0$，以确保 $\hat{c}$ 的平均光子数具有可加性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当腔模与两能级原子相互作用时，标准对易关系 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$ 是否仍然成立？
• RQ2 相干驱动与真空热库噪声的存在如何影响腔模算符的对易关系？
• RQ3 叠加模 $\hat{c} = \hat{a} + i\hat{b}$ 的对易关系形式为何？在何种条件下其退化为标准形式？
• RQ4 在零驱动 ($\varepsilon = 0$) 或零耦合 ($g = 0$) 的极限下，对易子如何变化？
• RQ5 修正后的对易子能否用可测量量（如平均光子数与耦合强度）表示？

主要发现

• 标准对易关系 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$ 仅在无相互作用与噪声的自由腔模下成立。
• 与两能级原子相互作用后，对易子变为 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1 + \frac{\gamma_c^2}{8\varepsilon^2 + \kappa\gamma_c}$，其中 $\gamma_c = 4g^2/\kappa$。
• 在无驱动时 ($\varepsilon = 0$)，对易子简化为 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1 + \frac{\gamma_c}{\kappa}$，表明即使在真空中，原子-腔耦合也会导致修正。
• 对于无原子的自由腔 ($g = 0$)，对易子恢复为 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$，确认在无相互作用时标准形式成立。
• 腔内平均光子数为 $\overline{n} = \frac{4\varepsilon^2}{\kappa^2} - \frac{\gamma_c}{\kappa} \cdot \frac{4\varepsilon^2}{8\varepsilon^2 + \kappa\gamma_c}$，显示出与耦合和驱动的非平凡依赖关系。
• 叠加算符 $\hat{c} = \hat{a} + i\hat{b}$ 满足 $[\hat{c}, \hat{c}^\dagger] = [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] + [\hat{b}, \hat{b}^\dagger]$，仅当模式互不相关且具有零或相等相干振幅时成立。