[论文解读] The Compactification of the Moduli Space of Convex RP(2) Surfaces, I

John Loftin|ArXiv.org|Nov 4, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 6

一句话总结

该论文通过分析在尖点和节点曲线附近全纯三次微分的单值性与垂直扭转参数的行为，建立了亏格 $g \geq 2$ 的曲面上海口 $\mathbb{R}P^2$ 结构模空间的紧化。利用 Wang 的发展映射和 Cheng-Yau 的仿射球对应关系，证明了当三次微分退化时，单值性类型与扭转参数连续变化，且残数决定了尖点处的单值性与垂直扭转参数。

ABSTRACT

There is a canonical identification, due to the author, of a convex real projective structure on an orientable surface of genus g and a pair consisting of a conformal structure together with a holomorphic cubic differential on the surface. The Deligne-Mumford compactification of the moduli space of curves then suggests a partial compactification of the moduli space of convex real projective structures: Allow the Riemann surface to degenerate to a stable nodal curve on which there is a regular cubic differential. We construct convex real projective structures on open surfaces corresponding to this singular data and relate their holonomy to earlier work of Goldman. Also we have results for families degenerating toward the boundary of the moduli space. The techniques involve affine differential geometry results of Cheng-Yau and C.P. Wang and a result of Dunkel on the asymptotics of systems of ODEs.

研究动机与目标

• 将凸 $\mathbb{R}P^2$ 结构与对偶 $(\Sigma, U)$ 之间的对应关系进行推广，其中 $\Sigma$ 是黎曼曲面，$U$ 是在极点阶数不超过 3 的全纯三次微分。
• 分析具有此类三次微分的有限类型黎曼曲面尖点附近的 $\mathbb{R}P^2$ 结构的单值性与垂直扭转参数。
• 证明当族逼近模空间 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 边界上的节点黎曼曲面时，单值性类型与垂直扭转参数连续变化。
• 通过将三次微分的残数数据与结构的几何不变量关联，建立凸 $\mathbb{R}P^2$ 结构形变空间 $\mathcal{G}_g$ 的连续紧化。

提出的方法

• 利用 Wang 的一阶 PDE 系统（18–28）来积分 $\mathbb{R}^3$ 中双曲仿射球的结构方程，后者通过 Cheng-Yau 对应关系对应于凸 $\mathbb{R}P^2$ 结构。
• 在具有在尖点处阶数为 3 的极点的有限类型黎曼曲面上，对共形因子 $u$ 求解非线性 PDE（1），通过构造一个试度量在尖点附近建立 $u$ 的屏障。
• 通过将线性 ODE 系统在无穷远处约化为常系数系统，并应用关于 $L^1$ 修正的线性系统 Levinson 定理，分析尖点附近单值矩阵的渐近行为。
• 应用引理 24 证明线性化系统存在连续且指数衰减的解，从而能够用三次微分 $U$ 的残数 $R$ 表示单值矩阵的特征值。
• 利用 $H_{-R} = H_R^{-1}$ 的事实，将残数符号反转时的单值性类型关联起来，并证明当 $\operatorname{Re} R > 0$ 时，垂直扭转参数为 $+\infty$，当 $\operatorname{Re} R < 0$ 时为 $-\infty$。
• 应用双曲仿射球及其渐近锥的理论，确保所得 $\mathbb{R}P^2$ 结构的完备性与严格凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当基础黎曼曲面退化为节点曲线时，凸 $\mathbb{R}P^2$ 结构的单值性类型与垂直扭转参数如何行为？
• RQ2 全纯三次微分 $U$ 在尖点处的残数 $R_i$ 与所得 $\mathbb{R}P^2$ 结构的单值性类型之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否从残数 $R_i$ 确定垂直扭转参数？当 $\operatorname{Re} R_i \to 0$ 时，其行为如何？
• RQ4 在具有阶数为 3 的极点的尖点附近，单值矩阵的渐近行为如何？
• RQ5 从阶数为 3 的极点的三次微分空间到单值性与扭转参数的映射在退化至节点曲线时是否连续？

主要发现

• 对于在尖点处具有阶数为 3 的极点的全纯三次微分 $U$，残数 $R_i$ 通过方程（41）的根决定单值矩阵的特征值，其中 $e^{2\pi\lambda_i}$ 给出特征值。
• 尖点处的垂直扭转参数在 $\operatorname{Re} R_i > 0$ 时为 $+\infty$，在 $\operatorname{Re} R_i < 0$ 时为 $-\infty$，其符号与 $\operatorname{Re} R_i$ 一致。
• 单值性类型由残数 $R_i$ 决定，且当 $\operatorname{Re} R_i \neq 0$ 时，从 $R_i \in \mathbb{C}$ 到单值性类型的映射是二对一的，两种情况由垂直扭转参数区分。
• 单值矩阵满足 $H_{-R} = H_R^{-1}$，反映了在粘合两个曲面时绕尖点相反方向的对偶性。
• 在 Deligne-Mumford 紧化 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上的正则三次微分空间中，单值性类型与垂直扭转参数可连续延拓，如定理 6 所述。
• 在具有阶数为 3 的极点的有限类型黎曼曲面上，PDE（1）的解存在，所得 $\mathbb{R}P^2$ 结构是完备且严格凸的，其单值性可通过尖点附近的线性 ODE 系统计算。