[论文解读] The compactness result for Kähler Ricci solitons

Huai-Dong Cao, Nataša Šešum|ArXiv.org|Apr 26, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用 6

一句话总结

该论文在实维数 $ n \geq 4 $ 下，针对满足曲率 $ L^{n/2} $-范数一致有界、里奇曲率从下方有界以及佩雷尔曼 $ \mu $-泛函有界的紧致凯勒里奇孤子序列，建立了紧致性定理。证明了此类序列（经子列提取后）收敛于一个具有有限个孤立奇点的轨道空间上的紧致凯勒里奇孤子，其中度量在每个奇点附近局部规范下可光滑延拓，推广了安德森-天类型紧致性结果至孤子情形。

ABSTRACT

In this paper we prove the compactness result for compact Kähler Ricci gradient shrinking solitons. If $(M_i,g_i)$ is a sequence of Kähler Ricci solitons of real dimension $n \ge 4$, whose curvatures have uniformly bounded $L^{n/2}$ norms, whose Ricci curvatures are uniformly bounded from below and $μ(g_i,1/2) \ge A$ (where $μ$ is Perelman's functional), there is a subsequence $(M_i,g_i)$ converging to a compact orbifold $(M_{\infty},g_{\infty})$ with finitely many isolated singularitites, where $g_{\infty}$ is a Kähler Ricci soliton metric in an orbifold sense (satisfies a soliton equation away from singular points and smoothly extends in some gauge to a metric satisfying Kähler Ricci soliton equation in a lifting around singular points).

研究动机与目标

• 建立与已知凯勒爱因斯坦度量结果类比的紧致凯勒里奇孤子序列的紧致性结果。
• 通过证明收敛至具有受控奇点的轨道度量，解决里奇流爆破极限中出现奇点的挑战。
• 将安德森-天紧致性框架扩展至梯度凯勒里奇孤子的非爱因斯坦情形。
• 利用规范理论与几何分析技术，处理奇点处曲率爆破的技术难题。
• 统一处理 $ n \geq 6 $ 与 $ n = 4 $ 的情形，后者因高斯-博内公式需采用不同方法。

提出的方法

• 使用凯勒里奇孤子的 $ \epsilon $-正则性引理，通过 $ L^{n/2} $-范数有界控制点态曲率。
• 对 $ n > 4 $ 采用西伯纳的方法处理杨-米尔斯方程，对 $ n = 4 $ 采用乌伦贝克-天技术处理奇点。
• 在每个轨道奇点附近构造局部规范，使得拉回度量在 $ \mathbb{C}^{n/2} $ 上光滑延拓为 $ C^\infty $ 凯勒里奇孤子。
• 利用里奇孤子方程 $ g_{i\bar{j}} - R_{i\bar{j}} = \partial\bar{\partial}u $ 估计曲率衰减估计中的散度项。
• 采用加权 $ L^2 $-估计，并通过联络形式与比安基恒等式控制曲率衰减。
• 证明在奇点附近曲率至多以 $ r(x)^{-\delta} $ 速度增长，确认轨道空间行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在曲率 $ L^{n/2} $-范数一致有界、里奇曲率从下方有界以及 $ \mu $-泛函有界的条件下，紧致凯勒里奇孤子序列是否能收敛至具有受控奇点的极限度量空间？
• RQ2 此类序列的极限是否具有具有孤立奇点的轨道空间上凯勒里奇孤子的结构？
• RQ3 极限中的奇点如何产生？能否通过规范理论提升至 $ \mathbb{C}^{n/2} $ 上的光滑度量来解决？
• RQ4 佩雷尔曼的 $ \mu $-泛函在防止极限中退化方面起什么作用？
• RQ5 奇点附近的曲率衰减行为如何？能否对其进行量化？

主要发现

• 在曲率 $ L^{n/2} $-范数一致有界、里奇曲率从下方有界以及 $ \mu(g_i, 1/2) \geq A $ 的条件下，紧致凯勒里奇孤子序列的某子列收敛于具有有限个孤立奇点的紧致轨道空间 $ (M_\infty, g_\infty) $。
• 极限度量 $ g_\infty $ 是轨道空间意义上的凯勒里奇孤子，其在奇点外满足孤子方程。
• 在每个奇点附近，通过局部规范，度量可光滑延拓为 $ \mathbb{C}^{n/2} $ 上的 $ C^\infty $ 凯勒里奇孤子，确认轨道空间正则性。
• 奇点附近曲率满足 $ |\mathrm{Rm}(g_\infty)|(x) \leq C r(x)^{-\delta} $，其中 $ \delta \in (0,1) $，表明其增长受控。
• 对于 $ n = 4 $，由于高斯-博内公式，$ L^{n/2} $-有界性自动成立，因此可允许更弱的曲率假设。
• 该结果将安德逊-天对凯勒爱因斯坦度量的紧致性结果推广至更广泛的凯勒里奇孤子类。