[论文解读] The competition-common enemy graphs of digraphs satisfying Conditions $C(p)$ and $C'(p)$

Yoshio Sano|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 12

一句话总结

本文表征了满足条件 $C(p)$ 和 $C'(p)$ 的有向图的竞赛-共同敌人图，这些条件是半序和区间序的推广。结果表明，此类图恰好是完全图 $K_r$ 与空图 $I_q$ 的不相交并，其中 $r \geq p$ 且 $q \geq 2$，或仅为 $I_q$ 且 $q \geq 1$。该结果将先前关于竞赛图的研究扩展到了在结构约束下的竞赛-共同敌人图设定。

ABSTRACT

S. -R. Kim and F. S. Roberts (2002) introduced the following conditions $C(p)$ and $C'(p)$ for digraphs as generalizations of the condition for digraphs to be semiorders. The condition $C(p)$ (resp. $C'(p)$) is: For any set $S$ of $p$ vertices in $D$, there exists $x \in S$ such that $N^+_D(x) \subseteq N^+_D(y)$ (resp. $N^-_D(x) \subseteq N^-_D(y)$) for all $y \in S$, where $N^+_D(x)$ (resp. $N^-_D(x)$) is the set of out-neighbors (resp. in-neighbors) of $x$ in $D$. The competition graph of a digraph $D$ is the (simple undirected) graph which has the same vertex set as $D$ and has an edge between two distinct vertices $x$ and $y$ if $N^+_D(x) \cap N^+_D(y) eq \emptyset$. Kim and Roberts characterized the competition graphs of digraphs which satisfy Condition $C(p)$. The competition-common enemy graph of a digraph $D$ is the graph which has the same vertex set as $D$ and has an edge between two distinct vertices $x$ and $y$ if it holds that both $N^+_D(x) \cap N^+_D(y) eq \emptyset$ and $N^-_D(x) \cap N^-_D(y) eq \emptyset$. In this note, we characterize the competition-common enemy graphs of digraphs satisfying Conditions $C(p)$ and $C'(p)$.

研究动机与目标

• 表征满足条件 $C(p)$ 和 $C'(p)$ 的有向图的竞赛-共同敌人图，这些条件推广了半序和区间序。
• 在这些结构条件下，将先前关于竞赛图的结果扩展到竞赛-共同敌人图变体。
• 通过确定当前表征的适用范围，解决关于 niche 图和 $C^*(p)$/$C'^*(p)$ 条件的开放问题。

提出的方法

• 将竞赛-共同敌人图定义为与有向图 $D$ 具有相同顶点集的无向图，当且仅当 $x$ 和 $y$ 的出邻域交集非空且入邻域交集也非空时，$x$ 与 $y$ 之间存在边，即 $N^+_D(x) \cap N^+_D(y) \neq \emptyset$ 且 $N^-_D(x) \cap N^-_D(y) \neq \emptyset$。
• 利用 $C(p)$ 和 $C'(p)$ 的结构定义：对任意 $p$ 个顶点的子集 $S$，存在一个顶点 $x \in S$，使得其出邻域（分别地，入邻域）包含于 $S$ 中其他每个顶点的出邻域（分别地，入邻域）。
• 通过显式构造满足 $C(p)$ 和 $C'(p)$ 的有向图，证明若 $G = K_r \cup I_q$ 且 $r \geq p$、$q \geq 2$，则 $G$ 是某个满足 $C(p)$ 和 $C'(p)$ 的有向图的竞赛-共同敌人图。
• 通过反证法证明逆命题：当 $r \geq p$ 时，$q$ 必须满足 $q \geq 2$，否则由 $C(p)$ 的脚部条件将导致环的形成，与无环性矛盾。
• 应用有向无环图和双竞赛数的结果，表征图由一个小连通分量与孤立顶点构成的情形。
• 利用半序和区间序满足 $C(2)$ 和 $C'(2)$ 的事实，推导出定理 1.2 中三类图类之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $p \geq 2$，满足 $C(p)$ 和 $C'(p)$ 的有向图的竞赛-共同敌人图是什么？
• RQ2 $C(p)$ 和 $C'(p)$ 的结构约束如何影响竞赛-共同敌人图的可能形式？
• RQ3 当非孤立连通分量的顶点数少于 $p$ 时，该表征是否可扩展？
• RQ4 无环性与双竞赛数在 $C(p)$ 和 $C'(p)$ 约束下如何限制可能的竞赛-共同敌人图？
• RQ5 半序和区间序的竞赛-共同敌人图与一般 $C(p)$/$C'(p)$ 情况有何关系？

主要发现

• 满足 $C(p)$ 和 $C'(p)$ 的有向图的竞赛-共同敌人图同构于 $K_r \cup I_q$，其中 $r \geq p$ 且 $q \geq 2$，或仅为 $I_q$ 且 $q \geq 1$。
• 若 $G = K_r \cup I_q$ 且 $r \geq p$、$q \geq 2$，则存在一个无环有向图 $D$ 满足 $C(p)$ 和 $C'(p)$，使得 $D$ 的竞赛-共同敌人图恰好为 $G$，该结果通过显式构造得到证明。
• 当 $r \geq p$ 时，$q \geq 2$ 是必要条件；若 $q < 2$，则由 $C(p)$ 的脚部条件将导致环的形成，产生矛盾。
• 对于满足 $C(p)$ 和 $C'(p)$ 的有向无环图，其竞赛-共同敌人图要么是 $I_q$（$q \geq 1$），要么是 $K_r \cup I_q$（$r \geq p$，$q \geq 2$），要么是 $H \cup I_q$，其中 $|V(H)| < p$，$I_H = \emptyset$，且 $q \geq dk(H)$。
• 定理 1.2 建立了作为半序的竞赛-共同敌人图、作为区间序的竞赛-共同敌人图，与形式为 $K_r \cup I_q$（$r \geq 2$，$q \geq 2$）的图三者之间的等价性。
• 本文指出了关于 $C^*(p)$、$C'^*(p)$ 和 niche 图的开放问题，建议未来研究方向为扩展当前表征框架。