[论文解读] The complete unitary dual of non-compact Lie superalgebra su(p,q|m) via the generalised oscillator formalism, and non-compact Young diagrams

Murat Günaydin, Dmytro Volin|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 52被引用 3

一句话总结

本文通过推广的振子形式化方法，对非紧李超代数 $υ(\mathsf{p},\mathsf{q}|\mathsf{m})$ 的幺正最高权与最低权表示进行了完整分类，该方法将标准 Fock 空间扩展至允许振子行列式的非整数次幂。该方法能够构造出所有幺正表示，包括具有连续参数的表示，并通过非紧的杨氏图实现其图示化表示，特别应用于物理上至关重要的 $υ(2,2|4)$ 四维共形超代数及其具有异常标度维数的超多重态。

ABSTRACT

We study the unitary representations of the non-compact real forms of the complex Lie superalgebra sl(n|m). Among them, only the real form su(p,q|m) (p+q=n) admits nontrivial unitary representations, and all such representations are of the highest-weight type (or the lowest-weight type). We extend the standard oscillator construction of the unitary representations of non-compact Lie superalgebras over standard Fock spaces to generalised Fock spaces which allows us to define the action of oscillator determinants raised to non-integer powers. We prove that the proposed construction yields all the unitary representations including those with continuous labels. The unitary representations can be diagrammatically represented by non-compact Young diagrams. We apply our general results to the physically important case of four-dimensional conformal superalgebra su(2,2|4) and show how it yields readily its unitary representations including those corresponding to supermultiplets of conformal fields with continuous (anomalous) scaling dimensions.

研究动机与目标

• 为非紧李超代数 $υ(\mathsf{p},\mathsf{q}|\mathsf{m})$ 提供幺正表示的完整分类。
• 将标准振子构造推广至允许振子行列式非整数次幂的推广 Fock 空间。
• 证明推广形式化方法能够捕捉所有幺正表示，包括具有连续参数的表示。
• 通过非紧杨氏图建立这些表示的图示化表示。
• 将该形式化方法应用于物理上重要的 $υ(2,2|4)$ 情形，即四维共形超代数，并推导其具有异常标度维数的幺正超多重态。

提出的方法

• 作者引入一个推广的 Fock 空间 $χ_{\gamma}$，允许振子行列式以非整数次幂作用，从而扩展了标准 Fock 空间构造。
• 他们采用 $τ$-变形的振子代数，并在推广的 Fock 空间上定义厄米结构，以确保幺正性。
• 该方法利用标准 $τ$-对偶对 $τ(\mathsf{K})\timesτ(\mathsf{P})$ 的 $τ$-变形，以构造不可约表示。
• 该构造基于 $τ(\mathsf{K})$ 与 $τ(\mathsf{P})$ 之间的 Howe 对偶框架，最高权态由非紧杨氏图标记。
• 该形式化方法同时包含玻色子与费米子振子，最高权态由 Fock 真空与振子产生算符构建。
• 该方法被应用于 $υ(2,2|4)$，通过 $Δ_{f}^{†}$ 与 $Δ_{b}^{†}$ 行列式的作用，生成具有连续（异常）标度维数的超多重态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用振子方法对非紧李超代数 $υ(\mathsf{p},\mathsf{q}|\mathsf{m})$ 的幺正对偶进行全面分类？
• RQ2 标准振子形式化方法能否扩展至包含振子行列式的非整数次幂，以捕捉幺正表示中的连续参数？
• RQ3 如何对 $υ(\mathsf{p},\mathsf{q}|\mathsf{m})$ 的幺正表示进行图示化表示，其与标准杨氏图的推广关系如何？
• RQ4 推广的振子构造如何在 $υ(2,2|4)$ 共形超代数中生成具有异常标度维数的超多重态？
• RQ5 CPT 共轭与自共轭性在该形式化方法构建的超多重态谱中的作用是什么？

主要发现

• 具有振子行列式非整数次幂的推广振子形式化方法成功构造了 $υ(\mathsf{p},\mathsf{q}|\mathsf{m})$ 的所有幺正表示，包括具有连续参数的表示。
• 幺正表示已得到完全分类，并通过非紧杨氏图实现，这些图编码了最高权态及其 Dynkin 标签。
• 对于 $υ(2,2|4)$，该方法重现了 $ττ_{5}\times S^{5}$ 上 IIB 超引力中所有 CPT 自共轭超多重态的谱，包括以 $[0,(n,n,0),0;0,0]$ 标记的无限重 $(1/2,1/2)$-BPS 多重态，其中 $n \geq 2$。
• 该构造通过如 $[\Delta_{b}^{\dagger}]^{\gamma_{L}}[b_{\dot{\alpha}}^{\dagger}(1)]^{m}|0\rangle$ 的作用，产生具有异常标度维数的自旋多重态，对应于标签 $[m,000,0;(2+\gamma_{L}),0]$。
• 该方法证实，$ττ_{5}\times S^{5}$ 上 IIB 超引力的完整谱源于对 CPT 自共轭双子多重态 $[0,(1,1,0),0;0,0]$ 的重复张量积，且仅限于 CPT 不变态。
• 该形式化方法提供了一个统一框架，通过结合多种振子颜色与行列式变形，构造出 $υ(2,2|4)$ 的所有幺正不可约表示，包括具有连续标度维数的表示。