[论文解读] The Completion of the Manifold of Riemannian Metrics with Respect to its $L^2$ Metric

Brian Clarke|ArXiv.org|Apr 1, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 35被引用 13

一句话总结

本文证明了在紧致定向流形上，光滑黎曼度量的流形若配备 $L^2$ 度量，则构成一个定义良好的度量空间，并对其完备化给出了完整的描述。通过弱黎曼几何与柯西序列的 $\omega$-收敛性，作者将完备化识别为在退化集合与零测度集上模等价的可测、有限体积半度量空间，解决了无穷维黎曼几何中的基础性问题，并为陶哲轩理论中的应用铺平了道路。

ABSTRACT

This is the author's Ph.D. thesis, submitted to the University of Leipzig. It deals with the $L^2$ Riemannian metric on the manifold of all smooth Riemannian metrics on a fixed closed, finite-dimensional manifold. The main body of the thesis is a description of the completion manifold of metrics with respect to the $L^2$ metric. The primary motivation for studying this problem comes from Teichmueller theory, where similar considerations lead to a completion of the well-known Weil-Petersson metric. We give an application of the main theorem to the completions of Teichmueller space with respect to a class of metrics that generalize the Weil-Petersson metric. We also prove that the $L^2$ metric induces a metric space structure on the manifold of metrics. As the $L^2$ metric is a weak Riemannian metric, this fact does not follow from general results. In addition, we prove several results on the exponential mapping and distance function of a weak Riemannian metric on a Hilbert/Frechet manifold. The statements are analogous to, but weaker than, what is known in the case of a Riemannian metric on a finite-dimensional manifold or a strong Riemannian metric on a Hilbert manifold.

研究动机与目标

• 确立在紧致定向流形上，光滑黎曼度量的流形在 $L^2$ 弱黎曼度量下构成一个度量空间，尽管其切空间缺乏完备性。
• 以具体几何与分析术语描述该度量空间的完备化结构。
• 解决弱黎曼几何中的基础性问题，即距离函数可能不满足正定性。
• 将完备化结果应用于陶哲轩理论，特别是陶哲轩空间上的魏尔-彼得森度量。
• 建立 $\omega$-收敛序列的严格框架，以实现对极限半度量的识别。

提出的方法

• 利用弗雷歇流形理论与弱黎曼结构，分析光滑黎曼度量空间上的 $L^2$ 度量。
• 引入并分析 $\omega$-收敛性，一种基于体积估计与度量弱极限的收敛概念。
• 定义度量流形的可及子集，并证明其在 $L^2$ 度量下完备化行为良好。
• 通过度量分量的逐点估计与 $L^p$ 估计，从柯西序列的 $\omega$-极限构造可测半度量。
• 证明 $\omega$-极限在退化集合与零测度集上模等价关系唯一，确保完备化定义良好。
• 通过将陶哲轩空间实现为映射类群作用下度量流形的商空间，将完备化结果应用于陶哲轩空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼度量流形上的 $L^2$ 度量是否为真正的度量，即是否诱导出正定距离函数？
• RQ2 在 $L^2$ 度量下，黎曼度量流形的完备化结构具有何种精确形式？
• RQ3 如何表征该空间中柯西序列的极限点，特别是当度量发生退化时？
• RQ4 能否以可测、有限体积半度量的形式描述该完备化，需要何种等价关系？
• RQ5 该完备化与陶哲轩理论中已知结构（如魏尔-彼得森度量）有何关联？

主要发现

• 配备 $L^2$ 度量的光滑黎曼度量流形构成一个定义良好的度量空间，因为其距离函数是正定的。
• 在 $L^2$ 度量下，黎曼度量流形的完备化在等距意义下可识别为在退化集合与零测度集上模等价的可测半度量空间，且其体积有限。
• $\omega$-极限存在且在等价关系下唯一，为构造极限半度量提供了具体方法。
• 完备化通过 $\omega$-收敛实现，其依赖于基于体积的估计与 $L^2$ 中张量场的弱收敛。
• 有限体积可测半度量空间在诱导距离下构成完备度量空间，且该空间是原始流形的自然完备化。
• 该结果使得陶哲轩空间在魏尔-彼得森度量下的严格完备化成为可能，方法是将其视为完备化度量流形在映射类群作用下的商空间。