[论文解读] The complex-symplectic geometry of SL(2,C)-characters over surfaces

William M. Goldman|ArXiv.org|Apr 21, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 25

一句话总结

本文建立了闭曲面 SL(2,C)-表示空间的复辛几何结构，证明映射类群 Γ 作用于其上为辛变换，且由于遍历性，所有 Γ-不变的亚纯函数均为常数。通过简单闭曲线的迹函数引入复哈密顿流，推广了 Fenchel-Nielsen 与 quakebend 流，并证明：对于一个裤分解 𝒫，其迹映射给出一个全纯完全可积系统，且 ΓP-不变函数均通过该迹映射分解而得。

ABSTRACT

The SL(2)-character variety X of a closed surface M enjoys a natural complex-symplectic structure invariant under the mapping class group G of M. Using the ergodicity of G on the SU(2)-character variety, we deduce that every G-invariant meromorphic function on X is constant. The trace functions of closed curves on M determine regular functions which generate complex Hamiltonian flows. For simple closed curves, these complex Hamiltonian flows arise from holomorphic flows on the representation variety generalizing the Fenchel-Nielsen twist flows on Teichmueller space and the complex quakebend flows on quasi-Fuchsian space. Closed curves in the complex trajectories of these flows lift to paths in the deformation space of complex-projective structures between different projective structures with the same holonomy (grafting). A pants decomposition determines a holomorphic completely integrable system on X. This integrable system is related to the complex Fenchel-Nielsen coordinates on quasi-Fuchsian space developed by Tan and Kourouniotis, and relate to recent formulas of Platis and Series on complex-length functions and complex twist flows.

研究动机与目标

• 研究闭曲面的 SL(2,C)-表示空间的复辛结构及其在映射类群 Γ 作用下的不变性。
• 理解闭曲线迹函数作为正则函数生成复哈密顿流的作用机制。
• 将这些流与已知的几何形变（如 Fenchel-Nielsen 扭转与复地震，即拟 Fuchsian 形变）相联系。
• 建立与裤分解 𝒫 相关的迹映射 τP 在表示空间上给出全纯完全可积系统的结论。
• 证明 ΓP-不变全纯函数在表示空间上可分解通过 τP，从而推广了关于复 Fenchel-Nielsen 坐标的已有结果。

提出的方法

• 利用李代数上的迹形式导出的 SL(2,C)-表示空间 X 上的复辛结构，定义哈密顿向量场。
• 对 α ∈ π1(M)，定义迹函数 fα(ρ) = tr(ρ(α))，其在 X 上生成复哈密顿流。
• 证明：对简单闭曲线 α，复哈密顿流可提升至表示空间 Hom(π, SL(2,C)) 上的全纯扭转变换流。
• 证明：对于裤分解 𝒫，迹映射 τP: X → ℂ^𝒫 是一个全纯完全可积系统，具有矩量映射结构。
• 应用映射类群在 SU(2)-表示空间上的遍历性，推导出 X 上所有 Γ-不变亚纯函数均为常数。
• 通过复长度函数 lℂ，将复哈密顿流与拟 Fuchsian 空间 QF(M) 上的复扭转变换流和地震流相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在非平凡的 Γ-不变亚纯函数在闭曲面 M 的 SL(2,C)-表示空间 X 上？
• RQ2 简单闭曲线的迹函数如何在 X 上生成复哈密顿流？这些流与几何形变之间有何关系？
• RQ3 能否证明与裤分解 𝒫 相关的迹映射 τP 在 X 上定义了一个全纯完全可积系统？
• RQ4 ΓP-不变全纯函数在 X 上是否可分解通过 τP，其中 ΓP 是 𝒫 在映射类群中的稳定化子？
• RQ5 X 上的复哈密顿流如何与拟 Fuchsian 空间 QF(M) 上的复 Fenchel-Nielsen 坐标及 quakebend 流相联系？

主要发现

• 由于 Γ 在 SU(2)-表示空间上的作用具有遍历性，所有 Γ-不变亚纯函数在 SL(2,C)-表示空间 X 上均为常数。
• 简单闭曲线 α 的迹函数 fα 生成的复哈密顿流可提升至表示空间上的全纯扭转变换流，推广了 Fenchel-Nielsen 流与复地震流。
• 对于裤分解 𝒫，迹映射 τP: X → ℂ^𝒫 是一个全纯完全可积系统，其矩量映射取值于 ℂ^N。
• 所有 ΓP-不变全纯函数在 X 上均可分解通过 τP，表明 τP 捕获了所有此类不变量。
• X 上的复哈密顿流在几何上对应于 ℂP¹-结构上的复地震与粘贴（grafting）操作，且复轨迹中闭曲线对应于具有相同单值化但不同 ℂP¹-结构之间的粘贴。
• QF(M) 上的复长度函数 lℂ 关于复扭转变换流是哈密顿函数，确认了 Platis 的结果，并将经典 Fenchel-Nielsen 理论推广至复域。