[论文解读] The Complexity of Approximating the Complex-Valued Potts Model

Andreas Galanis, Leslie Ann Goldberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 2

一句话总结

本文對具有複參數的 q-state Potts 模型和 Tutte 多項式之分割函數近似問題提供了完整的複雜度分類，確立了當 q ≥ 2 時，所有非實參數值下均為 #P-難問題。該研究透過證明計算困難性僅在參數位於實軸之外時出現，解決了近似計數與量子計算領域長期存在的開放問題，並將先前僅適用於 Ising 模型（q=2）的結果推廣至所有 q ≥ 2 的平面圖形。

ABSTRACT

We study the complexity of approximating the partition function of the q-state Potts model and the closely related Tutte polynomial for complex values of the underlying parameters. Apart from the classical connections with quantum computing and phase transitions in statistical physics, recent work in approximate counting has shown that the behaviour in the complex plane, and more precisely the location of zeros, is strongly connected with the complexity of the approximation problem, even for positive real-valued parameters. Previous work in the complex plane by Goldberg and Guo focused on q = 2, which corresponds to the case of the Ising model; for q > 2, the behaviour in the complex plane is not as well understood and most work applies only to the real-valued Tutte plane. Our main result is a complete classification of the complexity of the approximation problems for all non-real values of the parameters, by establishing #P-hardness results that apply even when restricted to planar graphs. Our techniques apply to all q ≥ 2 and further complement/refine previous results both for the Ising model and the Tutte plane, answering in particular a question raised by Bordewich, Freedman, Lovász and Welsh in the context of quantum computations.

研究动机与目标

• 對所有非實值的邊交互參數 y 及所有 q ≥ 2，分類 q-state Potts 模型分割函數近似問題的計算複雜度。
• 將先前僅適用於 q=2（Ising 模型）或實數參數的硬性結果，擴展至一般 q ≥ 2 的整個複數平面。
• 解決量子計算領域長期存在的開放問題：關於近似交替鏈結之 Jones 多項式的複雜度。
• 在 Potts 與 Tutte 模型中，針對複數近似問題，建立可有效解與 #P-難問題之間的完整二分法。

提出的方法

• 作者定義了兩個計算問題：Factor-K-NormPotts 與 Distance-ρ-ArgPotts，用以形式化在乘法或加法誤差下近似分割函數的範數與參數的任務。
• 他們運用代數技術與複分析，分析分割函數在複數平面上的零點與奇點位置，並將其與計算困難性連結。
• 證明依賴於從已知的 #P-難問題透過線路圖與代數運算構造歸約，特別是利用 Tutte 多項式與 Jones 多項式之間的關係。
• 他們應用多項式時間近似方案（PTAS）與零自由區域理論，證明複數平面上零點的存在對應於計算不可行性。
• 關鍵技術創新在於將「透過圖形構造實現代數點」的方法延伸至複數域，從而實現對非實參數的硬性證明。
• 他們透過 Thistlethwaite 定理，將平面圖形上 Tutte 多項式的結果轉換為交替鏈結之 Jones 多項式，進而使結果可應用於量子計算。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於哪些複數參數 y 值，近似 q-state Potts 模型的分割函數在 q ≥ 2 時為計算困難？
• RQ2 當 y 為非實數時，近似 Potts 模型分割函數的計算困難性是否可從 Ising 模型（q=2）推廣至所有 q ≥ 2？
• RQ3 在複數參數下，近似平面圖形上 Tutte 多項式的範數與參數時，可有效解與 #P-難問題之間的精確邊界為何？
• RQ4 能否完全分類近似交替鏈結之 Jones 多項式的複雜度，特別是在量子計算相關之關鍵點？
• RQ5 對於複數參數，Tutte 多項式實部符號的計算是否為 #P-難問題？其與量子計算複雜度之間的關係為何？

主要发现

• 對於所有 q ≥ 2 及所有非實數 y，近似 Potts 分割函數 ZPotts(G; q, y) 的範數為 #P-難問題，即使限制於平面圖形亦成立。
• 在平面圖形上，對於所有非實數 y 與 q ≥ 2，近似 Potts 分割函數的參數在加法誤差 ρ = π/3 內亦為 #P-難問題。
• 對於交替鏈結之 Jones 多項式，當 Re(t) > 0 且 t 為非實數時，其在範數與參數上的近似皆為 #P-難問題，僅在三點例外：t ∈ {1, −e^{2πi/3}, −e^{4πi/3}} 時可精確計算。
• 對於平面圖形上的 Tutte 多項式，當 q = (x−1)(y−1) ≥ 2 時，所有非實數 (x, y) 對均為 #P-難問題，僅在少數孤立特殊點處可精確求值。
• 本文解決了 Bordewich、Freedman、Lovász 與 Welsh 提出的疑問：對於對應於 t = e^{2πi/5} 的參數，Tutte 多項式實部符號的計算為 #P-難問題，此點在量子計算中具有關鍵意義。
• 已知影響 Tutte 多項式符號計算的相變點 q = 32/27，亦被證明為複數參數區域中計算困難性的臨界閾值。