[论文解读] The complexity of computing a (quasi-)perfect equilibrium for an n-player extensive form game of perfect recall

Kousha Etessami|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Game Theory and Applications参考文献 39被引用 3

一句话总结

该论文证明，在具有完美记忆的n人序列式博弈中，计算或近似各种纳什均衡的精炼形式——如序贯均衡、完美均衡和准完美均衡——属于复杂度类FIXP_a完全。此外，近似δ-几乎ε-(准)完美均衡的问题是PPAD完全的，将已知的正常形式博弈中的复杂度结果扩展到了三人或以上玩家的序列式博弈中更丰富的均衡精炼形式。

ABSTRACT

We study the complexity of computing or approximating refinements of Nash equilibrium for a given finite n-player extensive form game of perfect recall (EFGPR), where n >= 3. Our results apply to a number of well-studied refinements, including sequential (SE), extensive-form perfect (PE), and quasi-perfect equilibrium (QPE). These refine Nash and subgame-perfect equilibrium. Of these, the most refined notions are PE and QPE. By classic results, all these equilibria exist in any EFGPR. We show that, for all these notions of equilibrium, approximating an equilibrium for a given EFGPR, to within a given desired precision, is FIXP_a-complete. We also consider the complexity of corresponding "almost" equilibrium notions, and show that they are PPAD-complete. In particular, we define "delta-almost epsilon-(quasi-)perfect" equilibrium, and show computing one is PPAD-complete. We show these notions refine "delta-almost subgame-perfect equilibrium" for EFGPRs, which is PPAD-complete. Thus, approximating one such (delta-almost) equilibrium for n-player EFGPRs, n >= 3, is P-time equivalent to approximating a (delta-almost) NE for a normal form game (NFG) with 3 or more players. NFGs are trivially encodable as EFGPRs without blowup in size. Thus our results extend the celebrated complexity results for NFGs to refinements of equilibrium in the more general setting of EFGPRs. For 2-player EFGPRs, analogous complexity results follow from the algorithms of Koller, Megiddo, and von Stengel (1996), von Stengel, van den Elzen, and Talman (2002), and Miltersen and Soerensen (2010). For n-player EFGPRs, an analogous result for Nash and subgame-perfect equilibrium was given by Daskalakis, Fabrikant, and Papadimitriou (2006). However, no analogous results were known for the more refined notions of equilibrium for EFGPRs with 3 or more players.

研究动机与目标

• 确定在n人具有完美记忆的序列式博弈（EFGPR）中计算或近似精炼均衡的计算复杂度，其中n ≥ 3。
• 将正常形式博弈中纳什均衡的已知复杂度结果扩展到EFGPR中更精炼的均衡概念。
• 确立近似序贯均衡、完美均衡和准完美均衡属于FIXP_a完全，其“几乎”变体属于PPAD完全。
• 通过代数不动点函数，探讨路径追踪算法在这些均衡中的计算可行性。
• 识别EFGPR中正规均衡与准正规均衡的开放问题及其潜在复杂度类。

提出的方法

• 该论文使用代数不动点公式对n人EFGPR中的均衡条件进行建模，利用FIXP_a复杂度类的工具。
• 通过从已知的FIXP_a完全问题构造归约，证明在EFGPR中计算（准）完美均衡的困难性。
• 将δ-几乎ε-(准)完美均衡定义为一种松弛的解概念，以支持离散路径追踪算法。
• 通过将问题与已知为PPAD完全的δ-几乎子博弈完美均衡相关联，应用PPAD完全性论证。
• 借鉴先前关于路径追踪算法（如Lemke-Howson、Scarf类方法）的研究，并将其适配到EFGPR的代数结构中。
• 利用正常形式博弈可无大小膨胀地平凡编码为EFGPR的事实，将正常形式中的复杂度结果转移至序列形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在n ≥ 3的n人EFGPR中计算（准）完美均衡是否计算困难？若是，其复杂度类为何？
• RQ2 δ-几乎ε-(准)完美均衡能否高效计算？其复杂度类为何？
• RQ3 EFGPR中均衡精炼的复杂度类与正常形式博弈中的相比如何？
• RQ4 EFGPR中的正规均衡与准正规均衡近似是否也属于FIXP_a完全？
• RQ5 何种“几乎”正规均衡的定义可使路径追踪算法实现PPAD完全性？

主要发现

• 在任意n ≥ 3的n人EFGPR中，计算或近似序贯均衡、序列式完美均衡或准完美均衡属于FIXP_a完全。
• 在n人EFGPR中近似δ-几乎ε-(准)完美均衡属于PPAD完全。
• 近似这些精炼均衡的复杂度与在三人正常形式博弈中近似δ-几乎纳什均衡的复杂度在多项式时间下等价。
• 该结果将正常形式博弈中纳什均衡的著名复杂度结果扩展到了序列式博弈中更精炼的解概念。
• 该论文建议，基于代数不动点函数的Scarf类离散路径追踪算法可能为计算几乎（准）完美均衡提供一种实用方法。
• 作者推测，EFGPR中的正规均衡与准正规均衡的近似也属于FIXP_a完全，但其适用于PPAD的正确松弛定义仍为开放问题。