[论文解读] The complexity of computing the minimum rank of a sign pattern matrix

Amey Bhangale, Swastik Kopparty|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 25被引用 11

一句话总结

本文证明了计算符号模式矩阵的最小秩是 NP-难的，即使在判断最小秩是否至多为 3 时也是如此。作者通过建立与伪线排列可伸展性之间的新颖联系来证明这一点，并提供了一个多项式时间算法来判断最小秩是否至多为 2，从而解决了 [LMSS07] 中的一个开放问题。

ABSTRACT

We show that computing the minimum rank of a sign pattern matrix is NP hard. Our proof is based on a simple but useful connection between minimum ranks of sign pattern matrices and the stretchability problem for pseudolines arrangements. In fact, our hardness result shows that it is already hard to determine if the minimum rank of a sign pattern matrix is $\leq 3$. We complement this by giving a polynomial time algorithm for determining if a given sign pattern matrix has minimum rank $\leq 2$. Our result answers one of the open problems from Linial et al. [Combinatorica, 27(4):439--463, 2007].

研究动机与目标

• 确定计算符号模式矩阵最小秩的计算复杂性。
• 解决 [LMSS07] 中关于小数值下最小秩可 tractability 的开放问题。
• 建立符号模式矩阵秩与计算几何中伪线排列可伸展性之间的联系。
• 提供一种多项式时间算法，用于检测符号模式矩阵的最小秩是否 ≤ 2。

提出的方法

• 将计算最小秩的问题约化为伪线排列的可伸展性问题，利用均匀伪线排列的结构性结果（引理 2.3）。
• 通过从伪线可伸展性问题（已知为 NP-完全）的约化，证明判断 minrank ≤ 3 的问题为 NP-难。
• 使用行和列的置换、符号翻转以及缩放操作，对表示最小秩 ≤ 2 的符号模式的实矩阵进行归一化。
• 应用列分裂变换以消除零元素，同时保持最小秩不变，并利用连续性论证来证明该变换的合理性。
• 实施一种行删除过程，当多行具有相同的零模式时删除冗余行，同时保持秩和符号模式结构不变。
• 设计一种多项式时间算法，通过检查结构约束（如零模式的一致性）来确认 minrank > 2 或确认 minrank ≤ 2。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算符号模式矩阵的最小秩是否为 NP-难？
• RQ2 符号模式矩阵的最小秩是否可以在小数值（如秩 ≤ 2）下以多项式时间计算？
• RQ3 符号模式矩阵秩与伪线排列可伸展性之间是否存在结构性联系？
• RQ4 是否可以常数因子近似广义符号模式矩阵的最小秩？
• RQ5 n×n 符号模式矩阵的最小秩最大可能值是多少？

主要发现

• 计算符号模式矩阵的最小秩是 NP-难的，即使在判断最小秩是否至多为 3 时也是如此。
• 由于从已知为 NP-完全的伪线排列可伸展性问题约化而来，该问题仍保持 NP-难。
• 存在一种多项式时间算法，用于判断符号模式矩阵的最小秩是否至多为 2。
• 该算法依赖于对零模式和行/列一致性的结构检查，结合列分裂变换以消除零元素而不改变最小秩。
• n×n 符号模式矩阵的最小秩为 Θ(n)，尽管确切的常数因子尚不明确。
• 本文通过提供一种多项式时间算法来检测最小秩 ≤ 2，解决了 [LMSS07] 中的一个开放问题。