[论文解读] The complexity of conjugacy, orbit equivalence, and von Neumann equivalence of actions of nonamenable groups

Eusebio Gardella, Martino Lupini|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 36被引用 5

一句话总结

该论文证明，对于任意非阿贝尔可数离散群，其在标准无原子概率空间上自由遍历或弱混合保测群作用的共轭、轨道等价和冯诺依曼等价关系均不是 Borel 关系。通过保类的遍历 pmp 等价关系的扩张，作者表明这些关系本质上具有复杂性，从而解决了非阿贝尔群情形下的哈姆斯共轭问题，并与阿贝尔群情形形成鲜明对比：在阿贝尔群情形下，此类作用总是轨道等价的。

ABSTRACT

Building on work of Popa, Ioana, and Epstein--Törnquist, we show that, for every nonamenable countable discrete group $Γ$, the relations of conjugacy, orbit equivalence, and von Neumann equivalence of free ergodic (or weak mixing) measure preserving actions of $Γ$ on the standard atomless probability space are not Borel, thus answering questions of Kechris. This is an optimal and definitive result, which establishes a neat dichotomy with the amenable case, since any two free ergodic actions of an amenable group on the standard atomless probability space are orbit equivalent by classical results of Dye and Ornstein--Weiss. The statement about conjugacy solves the nonamenable case of Halmos' conjugacy problem in Ergodic Theory, originally posed by Halmos in 1956 for ergodic transformations. In order to obtain these results, we study ergodic (or weak mixing) class-bijective extensions of a given ergodic countable probability measure preserving equivalence relation $R$. When $R$ is nonamenable, we show that the relations of isomorphism and von Neumann equivalence of extensions of $R$ are not Borel. When $R$ is amenable, all the extensions of $R$ are again amenable, and hence isomorphic by classical results of Dye and Connes--Feldman--Weiss. This approach allows us to extend the results about group actions mentioned above to the case of nonamenable locally compact unimodular groups, via the study of their cross-section equivalence relations.

研究动机与目标

• 确定非阿贝尔群在标准无原子概率空间上自由遍历和弱混合 pmp 作用的共轭、轨道等价和冯诺依曼等价关系的 Borel 复杂度。
• 通过证明共轭关系不是 Borel 关系，解决非阿贝尔群在遍历理论中的哈姆斯共轭问题。
• 在阿贝尔群与非阿贝尔群之间建立尖锐的二分法：阿贝尔群的所有此类作用都是轨道等价的，而非阿贝尔群则不是。
• 通过截面等价关系将结果从离散群推广到非阿贝尔局部紧致单群。
• 表明这些等价关系的复杂性本质上源于底层群或等价关系的非阿贝尔性。

提出的方法

• 作者研究固定遍历可数 pmp 等价关系 R 的遍历类-双射 pmp 扩张，利用它们构造自由遍历 pmp 群作用。
• 他们证明，当 R 为非阿贝尔时，其类-双射扩张上的同构关系和冯诺依曼等价关系均不是 Borel 关系。
• 通过从 R 的扩张到非阿贝尔群 G 的作用构造一个 Borel 映射，将非 Borel 复杂性转移到群作用上。
• 该构造使用 G 作用在空间 X 上的余紧截面 Y，以及将轨道映射到 Y 的 Borel 函数 π。
• 证明在纤维积 X ×_Y Y̅ 上诱导的作用 ζ_S 是自由的、遍历的且保测的，且共轭与冯诺依曼等价关系在映射 S ↦ ζ_S 下保持不变。
• 该方法依赖于映射 S ↦ ζ_S 在扩展和群作用的标准参数化下是典范且 Borel 的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准无原子概率空间上，非阿贝尔群的自由弱混合 pmp 作用的共轭关系是否是乘积空间中的 Borel 子集？
• RQ2 此类作用的轨道等价关系和冯诺依曼等价关系对于非阿贝尔群是否也非 Borel？
• RQ3 非阿贝尔情形是否与阿贝尔情形存在根本性二分：在阿贝尔情形下，所有自由遍历作用都是轨道等价的？
• RQ4 能否通过一个 Borel 构造将这些等价关系的复杂性从等价关系转移到群作用上？
• RQ5 类-双射 pmp 扩张在生成共轭与等价关系非 Borel 的作用中起什么作用？

主要发现

• 对于任意非阿贝尔可数离散群 Γ，其在标准无原子概率空间上自由弱混合 pmp 作用的共轭关系不是乘积空间中的 Borel 子集。
• 对自由遍历 pmp 作用的共轭关系也成立，从而解决了哈姆斯共轭问题的非阿贝尔情形。
• 此类作用的轨道等价关系和冯诺依曼等价关系也非 Borel，确立了其本质复杂性。
• 当底层等价关系 R 为非阿贝尔时，其类-双射 pmp 扩张上的同构关系与冯诺依曼等价关系均非 Borel。
• 当 R 为阿贝尔时，所有扩张均为阿贝尔的，因此彼此同构，显示出阿贝尔与非阿贝尔情形之间的鲜明对比。
• 通过其截面等价关系，结果可推广至非阿贝尔局部紧致单群，利用高斯作用实现自由遍历 pmp 作用。