[论文解读] The complexity of conservative finite-valued CSPs

Kolmogorov, Stanislav Živný|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2010

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文建立了保守有限值约束满足问题（VCSP）的完整复杂性二分法，证明了每一类此类语言要么是可 tractable 的，要么是 NP-难的。作者基于多重同态（multimorphism）和代价函数结构，采用一种初等证明方法，表明可 tractability 由语言的功能图中不存在‘软自环’（soft self-loops）所决定，将先前关于布尔值和 {0,1}-值情形的结果推广至非布尔值域。

ABSTRACT

We study the complexity of valued constraint satisfaction problems (VCSP). A problem from VCSP is characterised by a \emph{constraint language}, a fixed set of cost functions over a finite domain. An instance of the problem is specified by a sum of cost functions from the language and the goal is to minimise the sum. We consider the case of so-called \emph{conservative} languages; that is, languages containing all unary cost functions, thus allowing arbitrary restrictions on the domains of the variables. This problem has been studied by Bulatov [LICS'03] for $\{0,\infty\}$-valued languages (i.e. CSP), by Cohen~\etal\ (AIJ'06) for Boolean domains, by Deineko et al. (JACM'08) for $\{0,1\}$-valued cost functions (i.e. Max-CSP), and by Takhanov (STACS'10) for $\{0,\infty\}$-valued languages containing all finite-valued unary cost functions (i.e. Min-Cost-Hom). We give an elementary proof of a complete complexity classification of conservative finite-valued languages: we show that every conservative finite-valued language is either tractable or NP-hard. This is the \emph{first} dichotomy result for finite-valued VCSPs over non-Boolean domains.

研究动机与目标

• 为保守有限值约束满足问题（VCSP）提供完整的复杂性分类，将先前结果从布尔值和 {0,1}-值域扩展至非布尔值域。
• 解决关于保守有限值 VCSP 是否在可 tractable 与 NP-难之间呈现二分法的开放问题。
• 基于语言功能图中不存在‘软自环’，建立可 tractability 的判定准则。
• 将先前关于 {0,∞}-值（CSP）、{0,1}-值（Max-CSP）和 Min-Cost-Hom 问题的结果推广至完整的有限值设定。

提出的方法

• 作者将保守语言定义为包含所有一元代价函数的语言，允许任意域限制。
• 他们在语言的功能图 GΓ 中引入‘软自环’的概念：若存在 x,y 使得 f(x,x) < f(x,y) + f(y,x)，则函数 f 拥有软自环。
• 核心方法是在无软自环时，于域的子集 M 上构造一个多重同态（特别是类似 STP 的运算）。
• 他们通过变量赋值的归纳法与情形分析，证明了类似次模性的不等式成立，从而表明问题可 tractable。
• 该证明依赖于通过一元代价函数变换实例，以模拟约束并分析和的最小化。
• 他们证明：若无软自环，则该语言在子集 M 上存在一个行为类似 STP 的多重同态，从而蕴含可 tractability。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非布尔值域上，保守有限值 VCSP 是否存在可 tractable 与 NP-难之间的完整二分法？
• RQ2 保守有限值语言的何种结构特性决定了其可 tractability？
• RQ3 能否不依赖泛代数，而使用更初等的方法证明该二分法？
• RQ4 若语言的功能图 GΓ 中不存在软自环，是否意味着该语言是可 tractable 的？
• RQ5 该结果如何将先前关于 {0,1}-值、{0,∞}-值和 Min-Cost-Hom 问题的二分法结果统一推广？

主要发现

• 每一类保守有限值语言要么是可 tractable 的，要么是 NP-难的，首次建立了非布尔值有限值 VCSP 的二分法结果。
• 可 tractability 等价于语言功能图 GΓ 中不存在软自环。
• 若语言在子集 M 上允许 STP 多重同态且无软自环，则其为可 tractable 的。
• 该证明构造了一个在子集 M 上行为类似 STP 的多重同态，从而确保问题可在多项式时间内求解。
• 无软自环意味着满足 Takhanov 的‘必要局部条件’，进而蕴含在 M 上存在一个算术同态。
• 该结果统一并推广了先前关于布尔值、{0,1}-值和 Min-Cost-Hom 问题的二分法结果，提出一个单一且一致的判定准则。