[论文解读] The Complexity of Distributed Edge Coloring with Small Palettes

Yi‐Jun Chang, Qizheng He+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用 6

一句话总结

该论文在 LOCAL 模型中为小色板的分布式边着色问题建立了紧致的下界，证明了 $(2\Delta-2)$-边着色在高概率下需要 $\Omega(\log_\Delta \log n)$ 时间，在确定性情况下需要 $\Omega(\log_\Delta n)$ 时间，即使在树上也是如此。论文提出了一种简化的轮次消除技术，并设计了一种新颖的随机化 $\tilde{O}(\sqrt{\Delta})$-加法色板算法，实现 $O(\log \Delta \cdot T_{LLL})$ 时间复杂度；同时，基于一种新型的分布式 LLL 算法，为树结构的依赖图开发出一个可证明最优的 $O(\log \log n)$-时间 $(1+\epsilon)\Delta$-边着色算法。

ABSTRACT

The complexity of distributed edge coloring depends heavily on the palette size as a function of the maximum degree $Δ$. In this paper we explore the complexity of edge coloring in the LOCAL model in different palette size regimes. 1. We simplify the \emph{round elimination} technique of Brandt et al. and prove that $(2Δ-2)$-edge coloring requires $Ω(\log_Δ\log n)$ time w.h.p. and $Ω(\log_Δn)$ time deterministically, even on trees. The simplified technique is based on two ideas: the notion of an irregular running time and some general observations that transform weak lower bounds into stronger ones. 2. We give a randomized edge coloring algorithm that can use palette sizes as small as $Δ+ ilde{O}(\sqrtΔ)$, which is a natural barrier for randomized approaches. The running time of the algorithm is at most $O(\logΔ\cdot T_{LLL})$, where $T_{LLL}$ is the complexity of a permissive version of the constructive Lovasz local lemma. 3. We develop a new distributed Lovasz local lemma algorithm for tree-structured dependency graphs, which leads to a $(1+ε)Δ$-edge coloring algorithm for trees running in $O(\log\log n)$ time. This algorithm arises from two new results: a deterministic $O(\log n)$-time LLL algorithm for tree-structured instances, and a randomized $O(\log\log n)$-time graph shattering method for breaking the dependency graph into independent $O(\log n)$-size LLL instances. 4. A natural approach to computing $(Δ+1)$-edge colorings (Vizing's theorem) is to extend partial colorings by iteratively re-coloring parts of the graph. We prove that this approach may be viable, but in the worst case requires recoloring subgraphs of diameter $Ω(Δ\log n)$. This stands in contrast to distributed algorithms for Brooks' theorem, which exploit the existence of $O(\log_Δn)$-length augmenting paths.

研究动机与目标

• 理解当色板大小次优时（特别是低于贪婪阈值 $2\Delta-1$ 以下）分布式边着色的复杂度。
• 简化并强化轮次消除技术，以在分布式边着色中证明下界。
• 为小色板（特别是 $\Delta + \tilde{O}(\sqrt{\Delta})$ 和 $(1+\epsilon)\Delta$-着色）开发高效随机化和确定性算法。
• 解决树结构依赖图的分布式 Lovász 局部引理（LLL）的复杂度问题，该问题为小色板边着色的关键原 primitive。

提出的方法

• 通过引入不规则运行时间并利用弱下界推导强下界，简化了轮次消除技术。
• 提出一种新的随机化边着色算法，使用大小为 $\Delta + \tilde{O}(\sqrt{\Delta})$ 的色板，运行时间为 $O(\log \Delta \cdot T_{LLL})$，其中 $T_{LLL}$ 是一种宽容构造性 LLL 的复杂度。
• 为树结构依赖图设计了一种确定性 $O(\log n)$-时间 LLL 算法，满足条件 $p(ed)^\lambda < 1$，从而实现在树上的高效着色。
• 提出一种新颖的图破碎方法，通过在树上模拟一种稳定传播过程，在 $O(\log_\lambda \log n)$ 时间内将依赖图分解为大小为 $O(\log n)$ 的连通分量。
• 结合确定性 LLL 算法与破碎方法，实现了树上 $(1+\epsilon)\Delta$-边着色的总运行时间为 $O(\max\{\log_\lambda \log n, \log \log n / \log \log \log n\})$。
• 通过构建具有完全二分图子图的分层图的递归构造，证明了在迭代着色算法中必须重着色的子图直径的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 LOCAL 模型中，$(2\Delta-2)$-边着色的分布式时间复杂度是多少？能否使用更简单的技术证明其下界？
• RQ2 是否可以实现使用大小为 $\Delta + \tilde{O}(\sqrt{\Delta})$ 的色板的随机化边着色？其运行时间对 LLL 复杂度的依赖关系如何？
• RQ3 是否存在一个可证明最优的分布式 LLL 算法用于树结构依赖图？该算法能否用于实现在树上的快速边着色？
• RQ4 当扩展部分着色低于 $2\Delta-1$ 阈值时，迭代边着色算法中必须重着色的子图的最小直径是多少？
• RQ5 图破碎框架能否被适配到树上的分布式 LLL，以实现亚对数时间复杂度？

主要发现

• 论文证明了在随机化 LOCAL 模型中，$(2\Delta-2)$-边着色的时间复杂度下界为 $\Omega(\log_\Delta \log n)$，在确定性模型中为 $\Omega(\log_\Delta n)$，即使在树上也成立。
• 设计了一种随机化边着色算法，使用大小为 $\Delta + \tilde{O}(\sqrt{\Delta})$ 的色板，运行时间为 $O(\log \Delta \cdot T_{LLL})$，其中 $T_{LLL}$ 是一种宽容构造性 LLL 的复杂度。
• 对于树结构图，通过一种新型的树结构依赖图分布式 LLL 算法，实现了 $O(\log \log n)$ 时间的 $(1+\epsilon)\Delta$-边着色。
• 在条件 $p(ed)^\lambda < 1$ 下，树的确定性 LLL 算法的运行时间为 $O(\max\{\log_\lambda n, \log n / \log \log n\})$，其复杂度在对数因子内是最优的。
• 图破碎方法通过在树上模拟稳定传播过程，独立于 LLL 参数，在 $O(\log_\lambda \log n)$ 时间内将依赖图分解为大小为 $O(\log n)$ 的连通分量。
• 论文表明，用于 $(\Delta+1)$-边着色的迭代增广路径方法在最坏情况下可能需要重着色直径为 $\Omega(\Delta \log n)$ 的子图，这与 Brooks 定理算法中使用的 $O(\log_\Delta n)$ 路径形成鲜明对比。