[论文解读] The complexity of dominating set reconfiguration

Arash Haddadan, Takehiro Ito+5 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文研究在基数约束下重新配置图中支配集的复杂性，证明该问题在平面图、有界带宽图、分裂图和二分图中为 PSPACE-完全。本文提出一种适用于 cographs、树和区间图的一般线性时间算法框架，表明重新配置序列可在 O(n) 步内构造完成，从而为该问题的可 tractable 与不可 tractable 图类之间确立了清晰的边界。

ABSTRACT

Suppose that we are given two dominating sets $D_s$ and $D_t$ of a graph $G$ whose cardinalities are at most a given threshold $k$. Then, we are asked whether there exists a sequence of dominating sets of $G$ between $D_s$ and $D_t$ such that each dominating set in the sequence is of cardinality at most $k$ and can be obtained from the previous one by either adding or deleting exactly one vertex. This problem is known to be PSPACE-complete in general. In this paper, we study the complexity of this decision problem from the viewpoint of graph classes. We first prove that the problem remains PSPACE-complete even for planar graphs, bounded bandwidth graphs, split graphs, and bipartite graphs. We then give a general scheme to construct linear-time algorithms and show that the problem can be solved in linear time for cographs, trees, and interval graphs. Furthermore, for these tractable cases, we can obtain a desired sequence such that the number of additions and deletions is bounded by $O(n)$, where $n$ is the number of vertices in the input graph.

研究动机与目标

• 确定在各种图类上，基于基数阈值 k 的支配集重新配置的计算复杂性。
• 识别区分 PSPACE-完全实例与多项式时间可解实例的结构特性。
• 为可 tractable 图类中高效计算重新配置序列，开发一种通用算法框架。
• 为这些可 tractable 情况建立重新配置序列长度的紧致边界。

提出的方法

• 通过从 NP-难支配集实例进行约化，证明 PSPACE-完全性，同时保持可重新配置性。
• 提出一种基于在 cographs、树和区间图中识别规范支配集的一般算法方案。
• 对于区间图，利用区间表示和基于右端点的顶点标记来构造规范支配集。
• 对于树，采用从左到右的贪心标记策略，并在闭邻域中选择最右端的顶点。
• 对于 cographs，利用其模块化分解和 P4-自由结构来定义规范支配集。
• 证明从任意有效支配集到规范支配集的重新配置序列仅需 O(n) 次操作，从而确保线性时间可解。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面图、有界带宽图、分裂图和二分图上的支配集重新配置问题的复杂性是什么？
• RQ2 能否为具有规范支配集的图类设计一种通用的重新配置算法框架？
• RQ3 对于 cographs、树和区间图等可 tractable 图类，重新配置序列的长度是否受 O(n) 边界限制？
• RQ4 图的何种结构特性决定了重新配置问题为 PSPACE-完全或可在线性时间内求解？

主要发现

• 即使在平面图、有界带宽图、分裂图和二分图中，支配集重新配置问题仍为 PSPACE-完全。
• 为 cographs、树和区间图开发了一种通用的线性时间算法框架，实现了高效重新配置序列的计算。
• 对于 cographs、树和区间图，任意两个大小不超过 k 的有效支配集之间的重新配置序列均可在 O(n) 步内构造完成。
• 区间图中的规范支配集通过基于区间端点的标记构造，并通过重新配置证明其为最小且通用。
• 该问题在弦图中仍为 PSPACE-完全，凸显了区间图与其超类之间复杂性的清晰边界。
• 所有可 tractable 情况下的重新配置序列长度均受 O(n) 边界限制，表明在顶点操作效率上为最优或近似最优。