[论文解读] The Complexity of Downward Closure Comparisons

Georg Zetzsche|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

semigroups and automata theory被引用 7

一句话总结

本文研究了由各类自动机模型（包括有限自动机、计数器自动机、反转有界计数器自动机以及上下文无关文法）生成的语言的向下闭包之间包含关系与等价关系的计算复杂性。对于大多数组合，本文建立了完备性结果，表明复杂性范围从 coNP 到 coNEXP，且证明了佩特里网语言为 Ackermann-hard，而 k 阶下推自动机的问题为 co-k-NEXP-hard。

ABSTRACT

The downward closure of a language is the set of all (not necessarily contiguous) subwords of its members. It is well-known that the downward closure of every language is regular. Moreover, recent results show that downward closures are computable for quite powerful system models. One advantage of abstracting a language by its downward closure is that then equivalence and inclusion become decidable. In this work, we study the complexity of these two problems. More precisely, we consider the following decision problems: Given languages $K$ and $L$ from classes $\mathcal{C}$ and $\mathcal{D}$, respectively, does the downward closure of $K$ include (equal) that of $L$? These problems are investigated for finite automata, one-counter automata, context-free grammars, and reversal-bounded counter automata. For each combination, we prove a completeness result either for fixed or for arbitrary alphabets. Moreover, for Petri net languages, we show that both problems are Ackermann-hard and for higher-order pushdown automata of order~$k$, we prove hardness for complements of nondeterministic $k$-fold exponential time.

研究动机与目标

• 确定对于关键自动机模型，判断一个语言的向下闭包是否包含或等于另一个语言的向下闭包的计算复杂性。
• 通过为正则语言之外的向下闭包比较建立完备性结果，填补先前研究的空白。
• 分析固定字母表与任意字母表对这些决策问题复杂性的影响。
• 开发用于证明向下闭包比较问题下界的通用技术。
• 将复杂性结果扩展至强大模型，如佩特里网语言和高阶下推自动机。

提出的方法

• 为有限自动机、计数器自动机、反转有界计数器自动机以及上下文无关文法的向下闭包包含与等价问题证明完备性结果。
• 利用小见证人的通用结果，推导出决策问题的上界。
• 建立模型特定的向下闭包性质，以支持上界证明。
• 开发一种通用方法，通过将 coNTIME(t) 问题约化到向下闭包比较问题，来证明下界。
• 构建多项式时间的有理转换，以在约化框架中模拟错误的计算编码。
• 利用放大函数和精心选择的字长，将图灵机计算编码到语言结构中。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限自动机、计数器自动机、反转有界计数器自动机以及上下文无关文法，判断语言 K 的向下闭包是否包含语言 L 的向下闭包的复杂性是什么？
• RQ2 固定输入字母表如何影响向下闭包包含与等价问题的复杂性？
• RQ3 佩特里网语言和 k 阶高阶下推自动机的向下闭包比较问题的复杂性是什么？
• RQ4 是否可以使用通用约化技术，证明在多种自动机模型下，向下闭包比较问题的复杂性下界？
• RQ5 是否存在可被利用以推导出紧致复杂性界限的向下闭包的模型特定结构性质？

主要发现

• 对于有限自动机，向下闭包包含与等价问题为 coNP-complete，即使在二元字母表下亦然。
• 对于计数器自动机和反转有界计数器自动机（固定计数器数量与反转次数），当字母表固定时，问题为 coNP-complete。
• 对于上下文无关文法和一般反转有界计数器自动机，问题为 coNEXP-complete，尽管并非所有组合均被证明完备。
• 佩特里网语言的向下闭包比较问题为 Ackermann-hard，表明其具有极高的复杂性。
• 对于 k 阶高阶下推自动机，问题为 co-k-NEXP-hard，表明其复杂性随 k 增加而呈现层次化增长。
• 开发了一种通用约化框架，通过将图灵机的非接受计算编码到语言编码中，证明了向下闭包问题的复杂性下界。