[论文解读] The Complexity of Finding Fair Many-To-One Matchings

Niclas Boehmer, Tomohiro Koana|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Game Theory and Voting Systems被引用 3

一句话总结

本文研究了二分图中公平多对一匹配的计算复杂性，其中公平性通过颜色分布约束定义——具体而言，最小化颜色计数之间的最大差异（Max-Min）或限制胜出边际（MoV）。作者提出了以右端点数量为参数的固定参数可追踪（FPT）算法，采用整数线性规划（ILP）和超模函数的新分离定理。主要贡献在于，即使在非空约束下，对两种公平标准均实现了FPT算法，并针对颜色数和最大度等参数建立了完整的复杂性二分法。

ABSTRACT

We analyze the (parameterized) computational complexity of "fair" variants of bipartite many-to-one matching, where each vertex from the "left" side is matched to exactly one vertex and each vertex from the "right" side may be matched to multiple vertices. We want to find a "fair" matching, in which each vertex from the right side is matched to a "fair" set of vertices. Assuming that each vertex from the left side has one color modeling its attribute, we study two fairness criteria. In one of them, we deem a vertex set fair if for any two colors, the difference between the numbers of their occurrences does not exceed a given threshold. Fairness is relevant when finding many-to-one matchings between students and colleges, voters and constituencies, and applicants and firms. Here colors may model sociodemographic attributes, party memberships, and qualifications, respectively. We show that finding a fair many-to-one matching is NP-hard even for three colors and maximum degree five. Our main contribution is the design of fixed-parameter tractable algorithms with respect to the number of vertices on the right side. Our algorithms make use of a variety of techniques including color coding. At the core lie integer linear programs encoding Hall like conditions. To establish the correctness of our integer programs, we prove a new separation result, inspired by Frank's separation theorem [Frank, Discrete Math. 1982], which may also be of independent interest. We further obtain complete complexity dichotomies regarding the number of colors and the maximum degree of each side.

研究动机与目标

• 分析在两种公平标准下公平多对一匹配的计算复杂性：Max-Min（最小化颜色计数差异）与MoV（限制任一颜色的主导程度）。
• 确定这些问题在关键参数（如右端点数量k、颜色数|C|、最大度∆U、∆V）下的参数化可追踪性。
• 为红区划分、大学录取及就业市场分配等应用开发高效公平匹配算法，其中属性（颜色）的平衡表示至关重要。
• 通过证明|C|、∆U与∆V参数下的复杂性二分法，建立完整的复杂性图谱。

提出的方法

• 设计以右端点数量k为参数的固定参数可追踪（FPT）算法，利用有界维数的整数线性规划（ILP）来编码公平匹配的Hall型条件。
• 提出一种针对超模函数的新型“接触分离定理”，受Frank分离定理启发，用于正式证明ILP公式的正确性。
• 结合颜色编码技术与ILP方法，用于MoV公平标准，实现对胜出边际约束下公平子集的高效检测。
• 将公平约束形式化为线性不等式组，通过在每个右端点上限制颜色计数差异或胜出边际来实现公平性。
• 证明在完全二分图上，Max-Min与MoV公平匹配可在O(n)时间内求解，即使存在右端点非空约束。
• 通过归纳法与构造性划分，证明在特定大小与颜色分布条件下，公平匹配存在，尤其针对0-公平集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 Max-Min与MoV公平匹配是否关于右端点数量k（即k）具有固定参数可追踪性？
• RQ2 能否为两种公平标准下的公平多对一匹配设计FPT算法，即使每个右端点必须至少匹配一个左端点？
• RQ3 当以颜色数|C|、最大度∆U与∆V为参数时，Max-Min与MoV公平匹配的精确计算复杂性是什么？
• RQ4 ILP公式中约束矩阵的结构（特别是ℓ=0情形）是否允许更快速的算法，如O⋆(2k)时间？
• RQ5 所提出的FPT算法能否扩展以处理右端点的任意大小约束？

主要发现

• 即使在三种颜色和最大度五的情况下，Max-Min与MoV公平匹配仍为NP难，表明在较弱条件下具有强不可追踪性。
• 问题关于右端点数量k（即k）是固定参数可追踪的，其FPT算法基于有界维数的ILP与颜色编码技术。
• 证明了一种针对超模函数的新型“接触分离定理”，该定理对验证ILP公式至关重要，且可能具有独立的理论价值。
• 在完全二分图上，Max-Min与MoV公平匹配均可在线性时间内求解，即使存在右端点必须至少匹配一个左端点的非空约束。
• 通过二分法完全分类了问题的复杂性：当|C| = 2时，Max-Min与MoV公平匹配为多项式时间可解；当|C| ≥3时为NP难。
• 本文证明Max-Min与MoV公平匹配关于k与左端点数量n均为FPT，确认在自然参数化下具有可追踪性。