[论文解读] The Complexity of Finding Small Separators in Temporal Graphs

Philipp Zschoche, Till Fluschnik+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Opportunistic and Delay-Tolerant Networks被引用 9

一句话总结

本论文研究了在时序图中寻找小型顶点割集的计算复杂性，区分非严格与严格时序路径。研究建立了复杂性二分法：当 τ ≥ 2 时，非严格变体为 NP-完全；当 τ ≥ 5 时，严格变体为 NP-完全；但当时间步数 τ 有界于 4 时，两者均可在多项式时间内求解。关键的是，非严格变体在以时序核心大小为参数时为固定参数可追踪（FPT），而严格变体即使在时序核心为空时仍为 NP-完全。

ABSTRACT

Temporal graphs are graphs with time-stamped edges. We study the problem of finding a small vertex set (the separator) with respect to two designated terminal vertices such that the removal of the set eliminates all temporal paths connecting one terminal to the other. Herein, we consider two models of temporal paths: paths that pass through arbitrarily many edges per time step (non-strict) and paths that pass through at most one edge per time step (strict). Regarding the number of time steps of a temporal graph, we show a complexity dichotomy (NP-hardness versus polynomial-time solvability) for both problem variants. Moreover we prove both problem variants to be NP-complete even on temporal graphs whose underlying graph is planar. We further show that, on temporal graphs with planar underlying graph, if additionally the number of time steps is constant, then the problem variant for strict paths is solvable in quasi-linear time. Finally, we introduce and motivate the notion of a temporal core (vertices whose incident edges change over time). We prove that the non-strict variant is fixed-parameter tractable when parameterized by the size of the temporal core, while the strict variant remains NP-complete, even for constant-size temporal cores.

研究动机与目标

• 确定在非严格与严格时序路径模型下，寻找时序图中小型顶点割集的计算复杂性。
• 研究该问题在底层图为平面图时是否仍为 NP-完全。
• 探讨时间步数 τ 和时序核心大小等结构参数对问题可解性的影响。
• 比较非严格与严格时序路径模型在割集问题中的计算行为。
• 引入并分析时序核心作为时序图问题的新参数。

提出的方法

• 将时序图形式化为离散时间步上的静态图序列，其中边带有时间戳。
• 定义两种路径模型：非严格（每时间步允许多条边）与严格（每时间步最多一条边）。
• 通过从已知 NP-完全问题的归约，证明当 τ ≥ 2（非严格）和 τ ≥ 5（严格）时，两者在一般时序图上均为 NP-完全。
• 建立当 τ ≤ 4 时，严格时序 (s,z)-割集问题的多项式时间可解性，利用其与节点加权连通性（NWC）问题的归约。
• 引入时序核心作为与非永久存在边相关联的顶点集合，并将其用作固定参数可追踪的参数。
• 设计一种随机化搜索树算法，通过猜测时序核心的划分，将问题归约为 NWC 问题，实现非严格变体的运行时间为 2^O(|W| log |W|) · |V|^O(1)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非严格路径模型下，寻找小型时序 (s,z)-割集的计算复杂性是什么？
• RQ2 严格时序 (s,z)-割集问题的复杂性如何随时间步数 τ 变化？
• RQ3 在底层图为平面图的时序图中，两个割集问题是否均为 NP-完全？
• RQ4 当时间序核心较小时，问题是否可多项式时间求解？非严格与严格模型之间有何差异？
• RQ5 非严格与严格时序路径模型对割集问题可解性的影响是什么？

主要发现

• 非严格时序 (s,z)-割集问题对所有 τ ≥ 2 均为 NP-完全，甚至在底层图为平面图的时序图中亦然。
• 严格时序 (s,z)-割集问题在 τ ≥ 5 时为 NP-完全，但在 τ ≤ 4 时可多项式时间求解。
• 当 τ 为常数且底层图为平面图时，严格时序 (s,z)-割集问题可在 O(|E| log |E|) 时间内求解。
• 非严格时序 (s,z)-割集问题在以时序核心大小为参数时为固定参数可追踪，运行时间为 2^O(|W| log |W|) · |V|^O(1)。
• 即使时序核心为空，严格时序 (s,z)-割集问题仍为 NP-完全，表明两种模型在复杂性上存在根本差异。
• 非严格与严格时序路径的选择对计算复杂性有决定性影响，这一区别在以往文献中常被忽视。