[论文解读] The complexity of generalized domino tilings

Igor Pak, Jed Yang|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Cellular Automata and Applications参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文证明，使用多米诺骨牌或板块（2×2×1 骨牌）对三维区域进行铺砖在计算上是困难的：即使对于同伦简单的（拓扑上简单的）区域，判定问题和计数问题也分别是 NP 完全和 #P 完全的。这些结果可推广至更高维度，并表明尽管在二维情况下可高效求解，但基本铺砖问题在超过二维后变得不可解。

ABSTRACT

Tiling planar regions with dominoes is a classical problem in which the decision and counting problems are polynomial. We prove a variety of hardness results (both NP- and #P-completeness) for different generalizations of dominoes in three and higher dimensions.

研究动机与目标

• 研究使用广义多米诺骨牌和板块对三维区域进行铺砖的计算复杂性。
• 确定诸如同伦性等拓扑限制是否能降低高维铺砖问题的复杂性。
• 将已知的二维铺砖结果推广至三维及更高维度，其中经典工具失效。
• 为三维及更高维度的判定问题和计数问题建立困难性结果。
• 厘清几何与组合设定下可解与不可解铺砖问题的边界。

提出的方法

• 从已知的 NP 完全问题（特别是立方二分图中的完美匹配问题）进行归约，以构造具有挑战性的铺砖实例。
• 利用图嵌入至三维网格结构，通过铺砖约束模拟计算问题。
• 构建特定的三维区域——包括一般区域与同伦区域——以编码底层计算问题的复杂性。
• 改编并重新证明瓦利安特（Valiant）关于三维多米诺骨牌铺砖的 #P 完全性结果，采用修改后的归约方法。
• 应用相同的构造技术，证明板块铺砖和同伦区域的 #P 完全性。
• 通过递归或归纳铺砖构造，将结果推广至 d ≥ 4 维度。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用板块（2×2×1 骨牌）对三维区域进行铺砖是否为 NP 完全？
• RQ2 当限制在同伦三维区域时，板块铺砖的 NP 完全性是否仍然成立？
• RQ3 三维区域中多米诺骨牌铺砖的数量是否为 #P 完全，即使在同伦区域中亦然？
• RQ4 能否证明三维空间中板块铺砖的计数问题为 #P 完全？
• RQ5 对于广义多米诺骨牌和板块，高维（d ≥ 4）铺砖问题的计算复杂性如何？

主要发现

• 即使区域为同伦的，使用板块对三维区域进行铺砖的可铺性问题也是 NP 完全的。
• 三维区域中多米诺骨牌铺砖的数量为 #P 完全，证实计数问题比判定问题困难得多。
• 即使限制在同伦三维区域中，计数问题仍为 #P 完全，表明拓扑简单性无法恢复可解性。
• 三维区域中板块铺砖的数量为 #P 完全，且该结论对同伦区域同样成立。
• 结果可推广至 d ≥ 4 维度，表明使用广义多米诺骨牌或板块的铺砖在高维中仍具有计算困难性。
• 对于同伦三维区域的多米诺骨牌或板块铺砖，局部移动性质（即通过小翻转可相互转换）不成立，表明其具有结构复杂性。