[论文解读] The Complexity of Hamiltonian Cycle Problem in Digraps with Degree Bound Two is Polynomial Time

Guohun Zhu|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2007

Graph theory and applications参考文献 2被引用 2

一句话总结

本文证明了在最大度为二的有向图中，哈密顿回路问题（HCP）可通过两种关键映射在多项式时间内求解：一是将有向环的关联矩阵与平衡二分无向图之间建立双射，二是从完美匹配反向映射回哈密顿回路。此外，本文还证明了在该类图中寻找第二个非同构的哈密顿回路也属于多项式时间，基于这些结果，推导出 P = BPP = NP。

ABSTRACT

Abstract. The complexity Hamiltonian cycle problem (HCP) in digraph D with degree bound two is solved by two mappings. The first bijection is between of a incidence matrix of Cnm of a simple digraph to a matrix F of a balanced bipartite undirected graph G; The second mapping is reverse from a perfect matching of G to a cycle of D. It proves that the complexity of HCP in D is polynomial. and finding a second nonisomorphism Hamiltonian cycle from a given Hamiltonian digraph with degree bound two is also polynomial. Lastly it deduce P = BPP = NP base on the results. 1

研究动机与目标

• 确定最大度为二的有向图中哈密顿回路问题（HCP）的计算复杂性。
• 通过结构映射建立多项式时间算法，用于求解此类有向图中的 HCP。
• 证明在度有界的有向图中寻找第二个非同构哈密顿回路也属于多项式时间。
• 探讨这些结果对复杂性类相等性的更广泛影响，特别是 P = BPP = NP。

提出的方法

• 在简单有向环的关联矩阵与平衡二分无向图的矩阵表示之间建立双射。
• 将有向图的关联结构映射到平衡二分图，以保持环的性质。
• 利用二分图中的完美匹配与原图中哈密顿回路之间的对应关系。
• 将二分图中的完美匹配反向映射回有向图中的环，以重构哈密顿回路。
• 利用二分图中完美匹配的多项式时间可解性，推断出在度有界有向图中 HCP 的多项式时间可解性。
• 基于在给定约束下 HCP 的多项式时间可解性，推导出 P = BPP = NP。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大度为二的有向图中的哈密顿回路问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 若已知一个哈密顿回路，是否能高效地找到第二个非同构的哈密顿回路？
• RQ3 有向图中关联矩阵的结构与二分图中完美匹配之间存在何种关系？
• RQ4 在度有界有向图中 HCP 的多项式时间可解性是否意味着更广泛的复杂性类相等？
• RQ5 有向图环与二分图匹配之间的双射关系能否用于解决基本复杂性类问题？

主要发现

• 通过关联矩阵与平衡二分图之间的构造性双射，最大度为二的有向图中的哈密顿回路问题可在多项式时间内求解。
• 在所导出的二分图中的完美匹配恰好对应于原图中的一个哈密顿回路，从而实现了高效的环重构。
• 在度有界的有向图中寻找第二个非同构哈密顿回路也属于多项式时间。
• 该类图中 HCP 存在多项式时间算法，意味着 P = BPP = NP。
• 这些结构映射为将有向图中的环检测问题与二分图中的匹配问题建立新联系提供了独特路径。