[论文解读] The Complexity of HCP in Digraps with Degree Bound Two

Guohun Zhu|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2007

Graph theory and applications参考文献 4被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种针对最大入度和出度为二的有向图（digraph）的哈密顿回路问题（HCP）的多项式时间算法，通过将有向图转换为平衡二部图，并将HCP归约为完美匹配问题。它声称由于该受限类别的HCP既是NP完全问题又可在多项式时间内求解，因此P = NP。

ABSTRACT

The Hamiltonian cycle problem (HCP) in digraphs D with degree bound two is solved by two mappings in this paper. The first bijection is between an incidence matrix C_{nm} of simple digraph and an incidence matrix F of balanced bipartite undirected graph G; The second mapping is from a perfect matching of G to a cycle of D. It proves that the complexity of HCP in D is polynomial, and finding a second non-isomorphism Hamiltonian cycle from a given Hamiltonian digraph with degree bound two is also polynomial. Lastly it deduces P=NP base on the results.

研究动机与目标

• 解决最大入度和出度为二的有向图中哈密顿回路问题（HCP）的复杂性问题。
• 建立此类有向图中HCP到所导出的平衡二部图中完美匹配问题的多项式时间归约。
• 证明此类有向图中哈密顿回路的存在性可在O(n⁴)时间内确定。
• 论证由于该NP完全问题可在多项式时间内求解，因此P = NP。

提出的方法

• 从度数有界的有向图D的关联矩阵出发，通过映射F将正向和负向关联矩阵合并，构造投影图G。
• 证明所得图G为最大度数为二的平衡二部图，且最多包含n/4个长度为四的连通分量。
• 将D中的HCP归约为在G中寻找完美匹配M，使得变换后的关联矩阵的秩r(F⁻¹(M)) = n−1。
• 使用单调函数f(M)表示D中连通分量的数量，确保仅需检查线性数量的非同构完美匹配。
• 应用Hopcroft-Karp算法在O((m+n)√n)时间内寻找完美匹配，并通过验证秩条件来确认哈密顿回路的存在。
• 通过顶点分裂方法将一般有向图（度数≤2）扩展为Γ-有向图，并采用相同方法求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大入度和出度为二的有向图中的哈密顿回路问题能否在多项式时间内求解？
• RQ2 此类有向图中的哈密顿回路与所导出的平衡二部图中的完美匹配之间是否存在双射关系？
• RQ3 若该NP完全子类存在多项式时间算法，是否可推出P = NP？
• RQ4 此类有向图中非同构哈密顿回路的数量能否被高效枚举？
• RQ5 一般有向图中度数有界的HCP是否可通过顶点分裂方法归约为Γ-有向图中的HCP？

主要发现

• 通过将HCP归约为平衡二部图中的完美匹配问题，最大入度和出度为二的有向图中的HCP可在O(n⁴)时间内求解。
• 原始有向图中的哈密顿回路与投影图G中满足r(F⁻¹(M)) = n−1的完美匹配之间存在双射关系。
• 非同构完美匹配的数量为n的线性函数，使得穷举搜索在多项式时间内可行。
• 该论文声称，由于该NP完全问题可在多项式时间内求解，因此P = NP，其依据为Cook的命题。
• 顶点分裂变换保持哈密顿回路结构，并将度数≤2的一般有向图映射为Γ-有向图。
• 该方法证实，在给定的度数有界的哈密顿有向图中寻找第二个非同构哈密顿回路也可在多项式时间内求解。