[论文解读] The Complexity of Homomorphism Reconstructibility

Jan Böker, Louis Härtel+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2023

Machine Learning and Algorithms被引用 1

一句话总结

本文研究了同态可重构性问题的计算复杂性——即判断给定的同态计数向量是否对应于某个有限图 G。研究证明，即使在有界树宽或有限输入图集等受限条件下，该问题仍是 NP#P-难的，并为特定参数化变体（包括单图和子图计数情形）提供了固定参数可追踪（FPT）算法。

ABSTRACT

Representing graphs by their homomorphism counts has led to the beautiful theory of homomorphism indistinguishability in recent years. Moreover, homomorphism counts have promising applications in database theory and machine learning, where one would like to answer queries or classify graphs solely based on the representation of a graph $G$ as a finite vector of homomorphism counts from some fixed finite set of graphs to $G$. We study the computational complexity of the arguably most fundamental computational problem associated to these representations, the homomorphism reconstructability problem: given a finite sequence of graphs and a corresponding vector of natural numbers, decide whether there exists a graph $G$ that realises the given vector as the homomorphism counts from the given graphs. We show that this problem yields a natural example of an $\mathsf{NP}^{#\mathsf{P}}$-hard problem, which still can be $\mathsf{NP}$-hard when restricted to a fixed number of input graphs of bounded treewidth and a fixed input vector of natural numbers, or alternatively, when restricted to a finite input set of graphs. We further show that, when restricted to a finite input set of graphs and given an upper bound on the order of the graph $G$ as additional input, the problem cannot be $\mathsf{NP}$-hard unless $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$. For this regime, we obtain partial positive results. We also investigate the problem's parameterised complexity and provide fpt-algorithms for the case that a single graph is given and that multiple graphs of the same order with subgraph instead of homomorphism counts are given.

研究动机与目标

• 正式定义并分析同态可重构性问题的计算复杂性，即从同态计数向量重构图 G。
• 判断给定的有限图序列及其关联的自然数计数是否可被实现为某个图 G 的同态计数。
• 探索可能存在高效算法的参数化复杂性情形，特别是当输入图集有限或对图阶数施加约束时。
• 区分算术方法（基于数论推理）与构造性算法方法（显式构建 G）之间的计算可行性。
• 为特殊情况（如单图输入和子图计数变体）提供 FPT 算法。

提出的方法

• 将同态可重构性问题（HomRec(F, G)）形式化为决策问题：给定图 F₁,…,Fₘ 和计数 h₁,…,hₘ，是否存在图 G 使得对所有 i 都有 hom(Fᵢ, G) = hᵢ。
• 通过从已知的困难计数问题约简，证明 NP#P-难性，表明即使在有界树宽或有限输入集下，计算困难性依然存在。
• 利用容斥原理和基于度的组合恒等式，将子图计数与同态计数关联起来，特别是针对三角形和三元顶点集的情形。
• 应用 FPT 技术求解参数化变体：针对单图情形，以及使用子图计数而非同态计数的同阶多图情形。
• 利用整数线性规划在固定参数可追踪性中的结果，特别是 p-IntegerLinearEquations 的 FPT 可解性。
• 通过树及其补图构造显式图族，以实现中间同态计数并填补可实现值的间隙。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使在有界树宽或有限输入图集等受限输入条件下，同态可重构性问题是否仍为 NP#P-难？
• RQ2 当输入图集有限且给定 G 的阶数上界时，该问题是否可在固定参数可追踪（FPT）时间内求解？
• RQ3 在此背景下，算术算法（基于数论推理）与构造性算法（显式构建 G）之间存在何种计算差异？
• RQ4 对于哪些参数化限制（如单图输入、固定阶数的多图）该问题可获得高效的 FPT 算法？
• RQ5 可实现的同态计数向量集合能否被完全刻画？此类向量的结构性约束是什么？

主要发现

• 即使限制为固定数量的输入图、有界树宽以及固定的自然数计数向量，同态可重构性问题仍是 NP#P-难的。
• 当限制为有限输入图集且给定 G 的阶数上界时，该问题不可能是 NP-难的，除非 P = NP。
• 对于单个输入图的情形，该问题存在以输入图大小为参数的 FPT 算法。
• 对于同阶多图且使用子图计数而非同态计数的情形，存在 FPT 算法，该算法依赖于 p-IntegerLinearEquations 的 FPT 可解性。
• 本文通过树及其补图构造了显式图族，实现了所有三角形子图计数的中间值，证明了在 $\binom{n}{3}$ 范围内的完备性。
• 建立了一个关键恒等式：$\text{sub}(\bullet, G) = \binom{n}{3} - \text{sub}(\bullet, G)(n-2) + \sum_{v \in V(G)} \binom{\deg_G(v)}{2} - \text{sub}(\bullet, G)$，该恒等式使得对可实现计数的精确控制成为可能。