[论文解读] The complexity of isomorphism between countably based profinite groups

André Nies|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2016

Rings, Modules, and Algebras参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文利用描述集合论中的Borel可约性，研究了可数基紧致群的同构复杂性。结果表明，拓扑上有限生成的紧致群同构的复杂性与实数集上的恒等关系相当，而一般紧致群同构的复杂性则完全属于$S_\infty$-轨道等价关系，其复杂性与可数图的同构问题相当。

ABSTRACT

A topological group G is profinite if it is compact and totally disconnected. Equivalently, G is the inverse limit of a surjective system of finite groups carrying the discrete topology. We discuss how to represent a countably based profinite group as a point in a Polish space. Then we study the complexity of isomorphism using the theory of Borel reducibility in descriptive set theory. For topologically finitely generated profinite groups this complexity is the same as the one of identity for reals. In general, it is the same as the complexity of isomorphism for countable graphs.

研究动机与目标

• 确定可数基紧致群同构的描述集合论复杂性。
• 使用Borel可约性对同构复杂性进行分类，并与已知等价关系进行比较。
• 表明拓扑上有限生成的紧致群同构具有较低的复杂性——等价于实数集上的恒等关系。
• 证明一般紧致群同构是$S_\infty$-轨道等价关系的完全问题。
• 建立可数基紧致群的波兰空间表示，以实现可测分类。

提出的方法

• 通过有限商群的逆极限，将可数基紧致群表示为波兰空间中的点。
• 使用Borel可约性将同构复杂性与标准等价关系（如$\mathbb{R}$上的恒等关系和$S_\infty$-轨道等价关系）进行比较。
• 应用Lubotzky的结果，表明拓扑上有限生成的紧致群同构是闭等价关系，因此Borel可约性低于实数集上的恒等关系。
• 利用自由紧致群$\widehat{F}_\omega$的普遍性质，将任意紧致群表示为$\widehat{F}_\omega$的商群。
• 在证明$S_\infty$-完备性时，利用群$G = \widehat{F}_k / R$（其中$R$为闭正规子群）的结构，分析中心化子大小与交换子关系。
• 基于关联图$A$中生成元的邻接结构，分类中心化子并推导元素的同构类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 拓扑上有限生成的紧致群同构的Borel复杂性是什么？
• RQ2 一般紧致群同构的复杂性与描述集合论中已知等价关系相比如何？
• RQ3 可数基紧致群能否在波兰空间中统一表示，以实现可测分类？
• RQ4 紧致群同构是否为$S_\infty$-轨道等价关系的完全问题？
• RQ5 紧致群的拓扑结构在多大程度上决定了其同构类型？

主要发现

• 拓扑上有限生成的紧致群同构Borel可约至实数集上的恒等关系，表明其复杂性较低。
• 一般可数基紧致群同构关系是$S_\infty$-轨道等价关系的完全问题。
• 这意味着紧致群同构问题的复杂性与可数图同构问题相当，而后者是已知的$S_\infty$-完全问题。
• 证明依赖于通过生成元邻接关系的图论性质，分析自由紧致群$\widehat{F}_\omega$商群中元素的中心化子。
• 商群中中心化子的大小取决于关联图$A$的结构，具体大小为$p-1$、$(p-1)^2$或$p(p-1)$，视情况而定。
• 当生成元图中不存在三角形和四边形时，中心化子由单个元素生成，导致共轭类中恰有$p-1$个元素。