[论文解读] The Complexity of NISQ

Sitan Chen, Jordan Cotler+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文引入並研究了複雜度類 NISQ，用以建模噪聲中等規模量子（NISQ）裝置的計算能力。它建立了超多項式階的 oracle 分離，顯示 BPP ⊊ NISQ ⊊ BQP；證明 NISQ 對於非結構化搜尋無法實現類似 Grover 的加速；在 Bernstein-Vazirani 問題中實現了對數級查詢優勢；並顯示在量子態學習方面相對於無噪聲常數深度量子電路，NISQ 表現出指數級弱勢。

ABSTRACT

The recent proliferation of NISQ devices has made it imperative to understand their computational power. In this work, we define and study the complexity class $ extsf{NISQ} $, which is intended to encapsulate problems that can be efficiently solved by a classical computer with access to a NISQ device. To model existing devices, we assume the device can (1) noisily initialize all qubits, (2) apply many noisy quantum gates, and (3) perform a noisy measurement on all qubits. We first give evidence that $ extsf{BPP}\subsetneq extsf{NISQ}\subsetneq extsf{BQP}$, by demonstrating super-polynomial oracle separations among the three classes, based on modifications of Simon's problem. We then consider the power of $ extsf{NISQ}$ for three well-studied problems. For unstructured search, we prove that $ extsf{NISQ}$ cannot achieve a Grover-like quadratic speedup over $ extsf{BPP}$. For the Bernstein-Vazirani problem, we show that $ extsf{NISQ}$ only needs a number of queries logarithmic in what is required for $ extsf{BPP}$. Finally, for a quantum state learning problem, we prove that $ extsf{NISQ}$ is exponentially weaker than classical computation with access to noiseless constant-depth quantum circuits.

研究动机与目标

• 正式定義 NISQ 裝置的計算能力，這些裝置具有噪聲、中等規模，且容錯能力有限。
• 理解 NISQ 算法與經典 BPP 及容錯 BQP 在計算強度上的比較。
• 研究 NISQ 裝置在非結構化搜尋、Bernstein-Vazirani 和量子態學習等知名量子問題上的限制與優勢。
• 使用 oracle 建構，建立 NISQ、BPP 和 BQP 之間嚴謹的複雜度理論分離。
• 評估 NISQ 裝置是否能實現量子加速，或其能力是否從根本上受到限制。

提出的方法

• 將 NISQ 複雜度類定義為：由經典計算機透過存取能執行噪聲初始化、噪聲兩量子位元閘與噪聲測量的量子裝置所解決的問題。
• 使用基於 oracle 的建構，特別是改良版的 Simon 問題，以展示 NISQ、BPP 和 BQP 之間的超多項式分離。
• 應用遞迴嵌套量子碼與強化版 Simon oracle，以指數成本模擬 NISQ 內的容錯計算。
• 運用混合論證與鞅集中不等式技術，證明對有界深度與噪聲量子電路之查詢複雜度的下界。
• 利用 Le Cam 方法與似然比分析，比較在噪聲環境下經典與量子的可區分性。
• 將噪聲同態問題作為 NISQ 計算的代理，連結至已知的經典難度假設，並延伸至量子 oracle 環境。

实验结果

研究问题

• RQ1 NISQ 裝置能否在查詢複雜度上實現對經典計算的量子優勢？
• RQ2 NISQ 複雜度類是否嚴格大於 BPP 且嚴格小於 BQP？
• RQ3 NISQ 裝置能否在非結構化搜尋中實現類似 Grover 的二次加速？
• RQ4 在 NISQ 模型中，Bernstein-Vazirani 問題的查詢複雜度與經典算法相比如何？
• RQ5 NISQ 表現與擁有無噪聲常數深度量子電路的經典計算相比如何？

主要发现

• 本文建立了 NISQ 與 BPP 之間的超多項式 oracle 分離，顯示 NISQ 嚴格強於經典多項式時間計算。
• 證明 NISQ 無法在非結構化搜尋中實現類似 Grover 的二次加速，意味著即使擁有噪聲量子存取，這些問題對經典計算仍保持困難。
• 對於 Bernstein-Vazirani 問題，NISQ 相較於 BPP 有對數級查詢優勢，僅需 O(log n) 次查詢，而經典情況下需多項式次數。
• 顯示 NISQ 在量子態學習方面，相對於擁有無噪聲常數深度量子電路的經典計算，表現出指數級弱勢，顯示其在態重建上的根本限制。
• 結果對多種噪聲模型（包括局部去極化噪聲）具有魯棒性，並可推廣至更一般的噪聲假設。
• 若能加強經典算法以處理噪聲同態問題，則可能表示 NISQ 可高效解決 Simon 問題的一個受限版本，顯示未來實現量子優勢的潛在途徑。