[论文解读] The Complexity of Packing Edge-Disjoint Paths

Jan Dreier, Janosch Fuchs+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 28被引用 1

一句话总结

本文研究了边不相交路径打包问题的参数化复杂性，该问题是哈密顿路径问题的推广。论文提出了一个以路径数量为参数的树上的FPT算法，并证明了在树宽为2的图上该问题为W[1]-难。关键贡献在于基于ETH的下界几乎匹配其使用最大度数、连通分量数以及高阶顶点数作为参数的XP算法的运行时间。

ABSTRACT

We introduce and study the complexity of Path Packing. Given a graph $G$ and a list of paths, the task is to embed the paths edge-disjoint in $G$. This generalizes the well known Hamiltonian-Path problem. Since Hamiltonian Path is efficiently solvable for graphs of small treewidth, we study how this result translates to the much more general Path Packing. On the positive side, we give an FPT-algorithm on trees for the number of paths as parameter. Further, we give an XP-algorithm with the combined parameters maximal degree, number of connected components and number of nodes of degree at least three. Surprisingly the latter is an almost tight result by runtime and parameterization. We show an ETH lower bound almost matching our runtime. Moreover, if two of the three values are constant and one is unbounded the problem becomes NP-hard. Further, we study restrictions to the given list of paths. On the positive side, we present an FPT-algorithm parameterized by the sum of the lengths of the paths. Packing paths of length two is polynomial time solvable, while packing paths of length three is NP-hard. Finally, even the spacial case EPC where the paths have to cover every edge in $G$ exactly once is already NP-hard for two paths on 4-regular graphs.

研究动机与目标

• 分析图中边不相交路径打包的参数化复杂性。
• 将哈密顿路径问题推广为更一般的路径打包问题。
• 识别可解决的参数化方式并建立紧致的复杂性界限。
• 研究路径长度的限制以及精确路径打包变体。
• 探讨路径打包与其他图划分问题之间的关系。

提出的方法

• 提出一种基于猜测割点的动态规划方法，用于子立方森林上的路径打包问题，实现FPT算法。
• 通过从多路数划分问题到该问题的归约，建立基于ETH的下界。
• 在高阶顶点上使用多图表示，以限制相关路径切割的数量。
• 应用动态规划求解基于顶点不相交路径段的单位编码装箱问题。
• 利用细分星形图构造来模拟数划分实例。
• 分析路径嵌入的结构特性，将候选割集数量减少至O(n + k²)种可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以路径数量为参数时，路径打包在树或森林上是否为固定参数可追踪（FPT）？
• RQ2 路径打包在有界树宽图上的参数化复杂性如何？
• RQ3 对于受限路径长度或图类，精确路径打包能否高效求解？
• RQ4 最大度数、连通分量数以及度数≥3的顶点数的组合参数如何影响可解性？
• RQ5 在指数时间假设（ETH）下，路径打包的最紧可能运行时间下界是什么？

主要发现

• 子立方森林上的路径打包问题存在一个FPT算法，其时间复杂度为2^k n^{O(1)}，其中k为路径数量。
• 该问题在树宽为2的图上为W[1]-难，且在ETH下无法在f(k) n^{o(k / log k)}时间内求解。
• 存在一个XP算法，其时间复杂度为O((n + k^2)^{k^2} k! k n^{O(k^2)})，使用最大度数、连通分量数以及度数≥3的顶点数作为参数。
• 基于ETH的下界几乎匹配XP算法的运行时间，表明该参数化方式几乎是最优的。
• 即使在仅两段路径的情况下，精确路径打包在4-正则图上仍是NP-完全的。
• 长度为2的路径打包可在多项式时间内求解，而长度为3的路径打包则是NP-难的。