[论文解读] The complexity of parity graph homomorphism: an initial investigation

John Faben, Mark Jerrum|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文研究了从输入图 $G$ 到固定目标图 $H$ 的图同态数量的奇偶性（奇数或偶数）的计算复杂性，重点关注 $k=2$ 的情况（即 $inus H$-染色）。对于树图，本文建立了 dichotomy 定理：$inom H$-染色要么是多项式时间可解，要么是 $inom ext{P}$-完全，具体取决于 $H$ 是否通过对合映射约化为平凡图（空图或单点图）。

ABSTRACT

Given a graph G, we investigate the question of determining the parity of the number of homomorphisms from G to some other fixed graph H. We conjecture that this problem exhibits a complexity dichotomy, such that all parity graph homomorphism problems are either polynomial-time solvable or parityP-complete, and provide a conjectured characterisation of the easy cases. We show that the conjecture is true for the restricted case in which the graph H is a tree, and provide some tools that may be useful in further investigation into the parity graph homomorphism problem, and the problem of counting homomorphisms for other moduli.

研究动机与目标

• 对模 2 计数图同态的计算复杂性进行分类，即确定 $H$-染色数量的奇偶性。
• 研究 $inom H$-染色问题是否存在类似于决策与计数问题已知 dichotomy 的复杂性 dichotomy。
• 通过图对合的结构约化，对 $inom H$-染色的可 tractable 情况（特别是树图）进行特征刻画。
• 将 dichotomy 扩展至一般图，推测相同的可 tractable 条件适用于一般图。

提出的方法

• 作者引入一种约化系统，通过图对合将图 $H$ 转换为‘约化形式’，同时保持同态数量的奇偶性不变。
• 他们证明，对于任意图 $H$，图 $G$ 的 $H$-染色数量的奇偶性在通过图对合进行约化后保持不变。
• 对于树图，他们证明：若 $H$ 约化为平凡图（空图或单点图），则 $inom H$-染色属于 P；否则为 $inom ext{P}$-完全。
• 当 $H$ 包含特定结构（即带自环端点的路径）时，他们构造了从 $inom$ IndSet 到 $inom H$-染色的多项式时间图灵约化，从而证明了非平凡树图的 $inom ext{P}$-完全性。
• 他们证明：若一个无对合的图 $H$ 的任意连通分量 $H_1$ 导致 $inom H_1$-染色问题是 $inom ext{P}$-完全的，则整个 $inom H$-染色问题也是 $inom ext{P}$-完全的。
• 他们将 dichotomy 扩展至森林图，证明：$inom H$-染色是可 tractable 的，当且仅当 $H$ 的约化形式是平凡的。

实验结果

研究问题

• RQ1 $inom H$-染色问题是否表现出复杂性 dichotomy，使得所有实例要么属于 P，要么是 $inom ext{P}$-完全？
• RQ2 对于树图，$inom H$-染色的可 tractable 情况是否能通过图对合约化为平凡图来完全刻画？
• RQ3 $inom H$-染色问题对所有非平凡树图是否都是 $inom ext{P}$-完全的？如果是，其结构条件是什么？
• RQ4 树图的 dichotomy 是否可扩展至一般图，使得 $inom H$-染色仅在 $H$ 约化为平凡图时才是可 tractable 的？
• RQ5 若一个无对合的图 $H$ 中存在一个 $inom ext{P}$-完全的连通分量，则整个 $inom H$-染色问题是否也是 $inom ext{P}$-完全的？

主要发现

• 对于树图，$inom H$-染色问题要么是多项式时间可解，要么是 $inom ext{P}$-完全，具体取决于 $H$ 是否通过图对合约化为平凡图（空图或单点图）。
• 对于任意树图 $H$，若 $H$ 无对合且包含多于一个顶点，则 $inom H$-染色是 $inom ext{P}$-完全的。
• 图 $G$ 的 $H$-染色数量模 2 在 $H$ 通过其对合进行约化后保持不变，从而保持计算复杂性不变。
• 当 $H$ 包含一个带自环端点的路径时，构造了从 $inom$ IndSet 到 $inom H$-染色的多项式时间图灵约化，从而证明了此类 $H$ 的 $inom ext{P}$-完全性。
• 对于一般无对合的图 $H$，若其任意连通分量 $H_1$ 导致 $inom H_1$-染色问题是 $inom ext{P}$-完全的，则整个 $inom H$-染色问题也是 $inom ext{P}$-完全的。
• dichotomy 可扩展至森林图：$inom H$-染色是可 tractable 的，当且仅当 $H$ 的约化形式是平凡的（空图或单点图）。