[论文解读] The Complexity of Partition Functions on Hermitian Matrices

Marc Thurley|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2010

Graph theory and applications参考文献 17被引用 10

一句话总结

本文对由厄米特矩阵定义的划分函数提供了完整的复杂度分类，将先前针对对称实矩阵的研究成果加以扩展。研究结果表明，此类划分函数要么可在多项式时间内计算，要么为#P-难，其可 tractability 的判定标准根植于与阿贝尔群及单位根一致性条件相关的代数结构。

ABSTRACT

Partition functions of certain classes of "spin glass" models in statistical physics show strong connections to combinatorial graph invariants. Also known as homomorphism functions they allow for the representation of many such invariants, for example, the number of independent sets of a graph or the number nowhere zero k-flows. Contributing to recent developments on the complexity of partition functions we study the complexity of partition functions with complex values. These functions are usually determined by a square matrix A and it was shown by Goldberg, Grohe, Jerrum, and Thurley that for each real-valued symmetric matrix, the corresponding partition function is either polynomial time computable or #P-hard. Extending this result, we give a complete description of the complexity of partition functions definable by Hermitian matrices. These can also be classified into polynomial time computable and #P-hard ones. Although the criterion for polynomial time computability is not describable in a single line, we give a clear account of it in terms of structures associated with Abelian groups.

研究动机与目标

• 将划分函数的复杂度分类从对称实矩阵扩展至具有复数元素的厄米特矩阵。
• 确定一个精确的代数准则，以判断由厄米特矩阵定义的划分函数是否可在多项式时间内计算或为#P-难。
• 通过同态框架统一并推广先前关于图不变量（如独立集、着色和流）的研究结果。
• 建立这些函数计算复杂度与阿贝尔群结构之间的联系，特别是通过基于单位根的表示。
• 提供一种系统性方法，将复杂的划分函数简化为适合复杂度分析的模算术问题。

提出的方法

• 通过双生缩减和顶点固定技术，将一般情况简化为连通矩阵。
• 通过将连通矩阵分解为对应于素数幂阶循环群的哈达玛分量，分析连通矩阵。
• 应用算术结构引理，将矩阵结构与有限环上的群表示联系起来。
• 利用单位根转移和同余划分函数约化，将问题转化为计算指数和。
• 运用重构引理和固定引理，模拟顶点约束，减少对全局配置的依赖。
• 应用定理7.3，表明若约化后的问题满足指数中单项式的一致性条件，则其可在多项式时间内计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些厄米特矩阵，其关联的划分函数可在多项式时间内计算？
• RQ2 厄米特矩阵的哪些代数与群论条件决定了其划分函数为#P-难？
• RQ3 如何将具有复权重的有向图上的划分函数约化为模指数和？
• RQ4 指数中二次与线性单项式的一致性条件如何影响划分函数的可 tractability ？
• RQ5 对称实矩阵的复杂度分类能否扩展至复厄米特矩阵的完整类？

主要发现

• 由厄米特矩阵定义的划分函数要么可在多项式时间内计算，要么为#P-难，不存在中间复杂度类。
• 多项式时间可计算性由群论条件（群条件GC）、表示条件(R1)–(R5)以及仿射条件(AF)的组合决定。
• 约化为有限阿贝尔群上的指数和，使得可运用特征和技巧，当满足一致性条件时，实现多项式时间计算。
• 对于每个素数幂阶分量，指数中单项式的一致性（特别是二次项）由涉及变量阶与系数的可除性条件保证。
• 证明表明，问题约化为计算形如 $\sum_{\mathbf{X}_{I_\nu}} \zeta_{\omega_\nu}^{f_\nu(\mathbf{X}_{I_\nu})} $ 的和，当单项式一致时，其为多项式时间可计算。
• 关键洞见在于，当厄米特矩阵被视作加权有向图时，其结构必须支持在有限阿贝尔群上的相容表示，划分函数才具有可 tractability 。