[论文解读] The complexity of quantum spin systems on a two-dimensional square lattice

Roberto I. Oliveira, Barbara M. Terhal|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 144

一句话总结

本文证明了当相互作用被限制在量子比特的二维正方形晶格上时，2-LOCAL HAMILTONIAN 问题仍然是 QMA-完全的，通过使用带有中介量子比特的新型微扰夹具来模拟 k-局部相互作用。此外，本文建立了在 2-局部 2D 相互作用下，量子绝热计算与电路模型之间的等价性，并表明任何常数 k 的 k-局部稳定算符空间均可近似为一个 2-局部哈密顿量的基态空间。

ABSTRACT

The problem 2-LOCAL HAMILTONIAN has been shown to be complete for the quantumcomputational class QMA [1]. In this paper we show that this important problemremains QMA-complete when the interactions of the 2-local Hamiltonian are betweenqubits on a two-dimensional (2-D) square lattice. Our results are partially derived withnovel perturbation gadgets that employ mediator qubits which allow us to manipulatek-local interactions. As a side result, we obtain that quantum adiabatic computationusing 2-local interactions restricted to a 2-D square lattice is equivalent to the circuitmodel of quantum computation. Our perturbation method also shows how any stabilizerspace associated with a k-local stabilizer (for constant k) can be generated as anapproximate ground-space of a 2-local Hamiltonian.

研究动机与目标

• 确定当相互作用被限制在二维正方形晶格上的量子比特时，2-LOCAL HAMILTONIAN 问题的计算复杂度。
• 开发使用中介量子比特的新微扰夹具，以在 2-局部哈密顿量中模拟 k-局部相互作用。
• 在二维晶格上 2-局部相互作用下，建立量子绝热计算与电路模型之间的等价性。
• 证明任何常数 k 的 k-局部稳定算符空间均可近似为二维晶格上 2-局部哈密顿量的基态空间。

提出的方法

• 设计新颖的微扰夹具，利用中介量子比特在二维晶格中实现远距离量子比特之间的有效相互作用。
• 使用二阶微扰理论推导出能从 2-局部项模拟高阶相互作用的有效哈密顿量。
• 通过这些夹具，构建从一般 k-局部哈密顿量到二维正方形晶格上等价 2-局部哈密顿量的映射。
• 证明所得到的 2-局部哈密顿量的基态空间以高保真度近似目标 k-局部稳定算符空间。
• 通过从已知的 QMA-完全问题约化，证明在二维晶格约束下，2-LOCAL HAMILTONIAN 问题仍保持 QMA-完全性。
• 通过证明仅使用 2-局部 2D 相互作用即可模拟通用量子计算，建立量子绝热计算与电路模型之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当相互作用被限制在量子比特的二维正方形晶格上时，2-LOCAL HAMILTONIAN 问题是否仍然是 QMA-完全的？
• RQ2 能否使用带有中介量子比特的微扰夹具在二维晶格上的 2-局部哈密顿量中模拟 k-局部相互作用？
• RQ3 在二维正方形晶格上使用 2-局部相互作用的量子绝热计算是否与电路模型具有相同的计算能力？
• RQ4 任何常数 k 的 k-局部稳定算符空间是否都能作为二维晶格上 2-局部哈密顿量的近似基态空间实现？
• RQ5 在二维晶格上实现通用量子计算所需的最小 2-局部相互作用集合是什么？

主要发现

• 即使所有相互作用都被限制在二维正方形晶格上最近邻的量子比特之间，2-LOCAL HAMILTONIAN 问题仍然是 QMA-完全的。
• 使用中介量子比特的新型微扰夹具成功在二维晶格上的 2-局部哈密顿量中模拟了 k-局部相互作用，从而实现了通用量子计算。
• 仅使用二维正方形晶格上 2-局部相互作用的量子绝热计算在计算能力上等价于标准的电路模型量子计算。
• 任何与常数 k 的 k-局部稳定算符哈密顿量相关的稳定算符空间均可近似为二维晶格上 2-局部哈密顿量的基态空间。
• 微扰方法确保了基态空间近似误差是可控的，并且随微扰强度的增强而有利地缩放。
• 这些结果在量子自旋系统的几何约束与量子计算的全部能力之间建立了紧密联系。