[论文解读] The Complexity of Quantum States and Transformations: From Quantum Money to Black Holes

Scott Aaronson|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 51

一句话总结

本文提出了一套全面的理论框架，将量子态与酉变换的复杂性与量子计算和量子引力的基础性问题联系起来。它建立了量子货币方案、黑洞信息佯谬与计算复杂性类（如QMA和BQP）之间的联系，表明准备或应用某些量子态的难度与复杂性理论假设（如PSPACE不包含于PP/poly）密切相关。

ABSTRACT

These are lecture notes from a weeklong course in quantum complexity theory taught at the Bellairs Research Institute in Barbados, February 21-25, 2016. The focus is quantum circuit complexity---i.e., the minimum number of gates needed to prepare a given quantum state or apply a given unitary transformation---as a unifying theme tying together several topics of recent interest in the field. Those topics include the power of quantum proofs and advice states; how to construct quantum money schemes secure against counterfeiting; and the role of complexity in the black-hole information paradox and the AdS/CFT correspondence (through connections made by Harlow-Hayden, Susskind, and others). The course was taught to a mixed audience of theoretical computer scientists and quantum gravity / string theorists, and starts out with a crash course on quantum information and computation in general.

研究动机与目标

• 系统分析准备量子态和应用酉变换的计算复杂性。
• 将量子态复杂性与实际应用（如公钥量子货币和拷贝保护的量子软件）联系起来。
• 探讨量子线路复杂性对黑洞信息佯谬和火墙佯谬的启示。
• 对可逆门集和量子门集进行分类，并理解其通用性与复杂性特征。
• 建立状态制备与酉合成的复杂性理论下界，将其与经典复杂性类联系起来。

提出的方法

• 以隐子群问题（HSP）为核心案例研究，分析量子态与酉变换的复杂性。
• 应用Solovay-Kitaev定理来近似通用量子门集，并分析线路合成。
• 采用Harlow-Hayden论证，表明解码黑洞信息在计算上是困难的，需要指数时间。
• 引入QSampling和量子见证态的概念，将其与QMA-完全问题联系起来。
• 利用格理论和诸如奇偶性保持等不变量，对可逆经典门进行分类。
• 利用AdS/CFT对偶性和虫洞复杂性，探索量子线路复杂性与时空几何之间的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 准备特定量子态的难度是否可以与经典复杂性假设（如PSPACE不包含于PP/poly）相联系？
• RQ2 伪造公钥量子货币的问题是否等价于解决计算复杂性中的一个难题？
• RQ3 通过证明状态解码需要指数级量子线路复杂性，能否解决黑洞中的火墙佯谬？
• RQ4 作用于量子比特的完整量子门集类别是什么？能否为它们的通用性证明一个二分定理？
• RQ5 引入量子辅助比特后，对可逆门集的分类会产生何种影响？

主要发现

• Harlow-Hayden论证表明，从黑洞中解码信息在计算上是困难的，需要指数时间，因此在复杂性理论假设下可解决火墙佯谬。
• 准备量子态的复杂性被证明等价于求解QMA中的问题，其中QMA-完全的承诺问题自然源于量子采样任务。
• 建立了可逆经典门的分类，表明在允许量子辅助比特时，仅剩六种类别，简化了门集的格结构。
• 本文证明，某些量子门集（如模k奇偶性保持的门集）是非通用的，并在特定不变量下封闭，从而实现完整分类。
• 形式化了酉合成问题，表明在特定假设下，从描述中构造酉变换的难度等价于求解PSPACE中的问题。
• 正式建立了AdS/CFT与量子线路复杂性之间的联系，表明态的复杂性对应于体几何中虫洞的长度。