[论文解读] The complexity of quantum support vector machines

Gian Gentinetta, Arne Thomsen+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 10

一句话总结

本文分析了在噪声量子核评估下训练量子支持向量机（QSVM）的计算复杂度。研究表明，对偶QSVM可在O(M⁴.⁶⁷/ε²)次量子线路评估中完成训练，而采用Pegasos-like算法的原始方法复杂度为O(min{M²/ε⁶, 1/ε¹⁰})，实证结果验证了这些界限。近似QSVM变体实现了最佳复杂度O(1/ε³)的标度，尽管由于非凸性而缺乏全局最优性保证。

ABSTRACT

Quantum support vector machines employ quantum circuits to define the kernel function. It has been shown that this approach offers a provable exponential speedup compared to any known classical algorithm for certain data sets. The training of such models corresponds to solving a convex optimization problem either via its primal or dual formulation. Due to the probabilistic nature of quantum mechanics, the training algorithms are affected by statistical uncertainty, which has a major impact on their complexity. We show that the dual problem can be solved in $O(M^{4.67}/\varepsilon^2)$ quantum circuit evaluations, where $M$ denotes the size of the data set and $\varepsilon$ the solution accuracy compared to the ideal result from exact expectation values, which is only obtainable in theory. We prove under an empirically motivated assumption that the kernelized primal problem can alternatively be solved in $O(\min \{ M^2/\varepsilon^6, \, 1/\varepsilon^{10} \})$ evaluations by employing a generalization of a known classical algorithm called Pegasos. Accompanying empirical results demonstrate these analytical complexities to be essentially tight. In addition, we investigate a variational approximation to quantum support vector machines and show that their heuristic training achieves considerably better scaling in our experiments.

研究动机与目标

• 在现实量子硬件约束下，严格分析量子支持向量机（QSVM）的训练复杂度。
• 量化有限量子线路测量带来的统计噪声对优化收敛的影响。
• 在有限采样条件下，比较使用量子核的QSVM对偶与原始训练方法。
• 评估启发式变分训练方法及其与理论边界的实证标度关系。
• 确定在当前噪声和资源约束下，QSVM训练是否具备实际量子优势的可行性。

提出的方法

• 通过将核评估建模为有限测量次数下的噪声期望值，分析对偶QSVM公式。
• 在噪声半空间学习假设下推导对偶问题的复杂度界限，得出O(M⁴.⁶⁷/ε²)次线路评估。
• 将经典Pegasos算法适配至量子核设置，证明原始优化复杂度为O(min{M²/ε⁶, 1/ε¹⁰})次评估。
• 提出一种使用变分量子线路参数化决策函数的近似QSVM，实现更快的实证标度。
• 使用QASM模拟器在不同采样次数和数据维度下，实证验证理论复杂度界限。
• 通过误差与采样次数数据的对数-对数拟合，提取实证指数，并与理论预测进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 当核评估受到有限量子测量带来的统计噪声影响时，训练量子支持向量机的计算复杂度是多少？
• RQ2 在现实量子噪声下，对偶QSVM公式在数据规模M和解精度ε下的复杂度如何变化？
• RQ3 在存在量子核噪声的情况下，通过类似Pegasos的随机梯度方法实现的原始QSVM公式是否能优于对偶方法实现更好的标度？
• RQ4 变分近似QSVM的实证标度是多少？与理论界限相比如何？
• RQ5 尽管近似QSVM失去了凸性和全局最优性保证，但其是否为实现训练中实际量子优势提供了可行路径？

主要发现

• 对偶QSVM为达到ε-精度，需要O(M⁴.⁶⁷/ε²)次量子线路评估，相比经典SVM，由于采样噪声导致多项式级开销。
• 使用Pegasos-like算法的原始QSVM复杂度为O(min{M²/ε⁶, 1/ε¹⁰})次评估，高精度下1/ε¹⁰项占主导。
• 实证结果证实理论复杂度界限基本紧密，近似QSVM的ε标度指数实测为2.9±0.3。
• 近似QSVM实现了最佳实证标度O(1/ε³)，且与数据规模M无关，但因非凸性而缺乏全局最优性保证。
• 基于Pegasos的原始方法在M标度上优于对偶方法，但在ε标度上表现更差，尤其与经典核相比。
• 本研究强调，尽管量子核在理论上可能提供可证明的加速，但有限采样带来的统计噪声显著增加了实际训练复杂度。