[论文解读] The complexity of semidefinite programs for testing $k$-block-positivity

Qian Chen, Benoît Collins|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2026

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 0

一句话总结

作者分析用于测试 k 块正定性的 SDP 的计算复杂度，采用矩形 Young 图对称性简化，并推导出一个明确的复杂度公式，显示在 k = d 时层级崩溃。

ABSTRACT

We extend \cite{chen2025srkbp} by analyzing the complexity of the $k$-block-positivity testing algorithm that stems from the optimization problem in Definition ef{definition:SDP-k-block-positivity}. In this paper, we investigate a symmetry reduction scheme based on rectangular shaped Young diagrams. Connecting the complexity to the dimensions of irreducible representations of $\U(d)$, we derive an explicit formula for the complexity, which also clarifies why the semidefinite program hierarchy collapses in the $k=d$ case.

研究动机与目标

• 在双量子系统中动机化并形式化测试 k 块正定性的问题。
• 开发一个由 Young 图索引的对称性简化 SDP 框架，以近似 k 块正定性测试。
• 量化 SDP 资源规模并将其与 U(d) 的不可约表示联系起来。
• 证明矩形 Young 图方案足以用于测试 k 块正定性并推导出一个明确的复杂度公式。

提出的方法

• 用 k-净化将 k 块正定性映射到 1 块正定性问题，建立其 SDP 表述。
• 利用 k-净化将问题从 k 块正定性映射到 1 块正定性问题。
• 利用 U(k) 及玻色对称性来将 SDP 简化为以 Young 图索引的块，聚焦在矩形形状。
• 给出简化后 SDP 复杂度 C(nk) 的显式表达式，涉及 d、k 和 n。
• 通过 Schur-Weyl 对偶性，将 SDP 变量规模与 U(d) 的不可约表示维度联系起来。
• 展示当 k = d 时层级坍缩为基于最小特征值的单一测试，比较 k 与 d-k 时的复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过具有对称性简化的半正定规划高效处理 k 块正定性测试？
• RQ2 将限于矩形 Young 图是否足以进行有效的 k 块正定性测试？
• RQ3 对称性简化如何影响 SDP 的规模/复杂度作为 n、k、d 的函数？
• RQ4 在 k = d 的情况下，扩展性层级为何会坍缩？
• RQ5 在这一背景下，SDP 的复杂度与 U(d) 的不可约表示之间有什么关系？

主要发现

• 一个显式的 SDP 复杂度公式 C(nk) = d k(d + n −1)^(k+n−1) 乘以 r 从 1 到 k 的乘积 (d + n − r −1)!(k − r)! 除以 (k + n − r −1)!(d − r)！，显示在对称性简化下的复杂度为 O(nk(d−k))。
• 在扩展层级下，矩形形状的 Young 图足以用于测试 k 块正定性。
• 复杂度取决于 U(d) 不可约表示的维度，将计算资源与 Schur-Weyl 对偶性结构联系起来。
• 当 k = d 时，SDP 层级收敛到基于最小特征值的单一测试，层级不再需要。
• 矩形图方案提供一种经济的方法：只有恰好 k 行的块对目标有贡献，降低计算工作量。