[论文解读] The complexity of some regex crossword problems

Stephen Fenner|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究在结构限制下，正则表达式填字游戏的计算复杂性，证明即使所有行和列的正则表达式相同，解的存在性仍取决于输入编码方式，可能为 NP-完全或不可判定。主要成果包括：当列的正则表达式固定且维度以一元编码时，问题为 NP-完全；对称填字游戏问题为 NP-难；通过二维表格模拟图灵机，证明在任意大小下解的存在性问题不可判定。

ABSTRACT

In a typical regular expression (regex) crossword puzzle, you are given two nonempty lists $R_1,\ldots,R_m$ and $C_1,\ldots,C_n$ of regular expressions over some alphabet, and your goal is to fill in an $m imes n$ grid with letters from that alphabet so that the string formed by the $i$th row is in $L(R_i)$, and the string formed by the $j$th column is in $L(C_j)$, for all $1\le i\le m$ and $1\le j\le n$. Such a grid is a solution to the puzzle. It is known that determining whether a solution exists is NP-complete. We consider a number of restrictions and variants to this problem where all the $R_i$ are equal to some regular expression $R$, and all the $C_j$ are equal to some regular expression $C$. We call the solution to such a puzzle an $(R,C)$-crossword. Our main results are the following: 1. There exists a fixed regular expression $C$ over the alphabet $\{0,1\}$ such that the following problem is NP-complete: "Given a regular expression $R$ over $\{0,1\}$ and positive integers $m$ and $n$ given in unary, does an $m imes n$ $(R,C)$-crossword exist?" This improves the result mentioned above. 2. The following problem is NP-hard: "Given a regular expression $E$ over $\{0,1\}$ and positive integers $m$ and $n$ given in unary, does an $m imes n$ $(E,E)$-crossword exist?" 3. There exists a fixed regular expression $C$ over $\{0,1\}$ such that the following problem is undecidable (equivalent to the Halting Problem): "Given a regular expression $R$ over $\{0,1\}$, does an $(R,C)$-crossword exist (of any size)?" 4. The following problem is undecidable (equivalent to the Halting Problem): "Given a regular expression $E$ over $\{0,1\}$, does an $(E,E)$-crossword exist (of any size)?"

研究动机与目标

• 分析在所有行和列正则表达式相同这一结构约束下，正则表达式填字游戏的计算复杂性。
• 确定在这些限制下，解的存在性是否仍为 NP-难，或变为不可判定。
• 研究输入编码（一元与二进制）对问题复杂性的影响。
• 探讨任意大小填字游戏解的存在性可判定性，特别是与停机问题的关系。
• 将结果扩展至对称情形（行与列表达式相同），并探讨其在双人游戏和无界网格变体中的影响。

提出的方法

• 将单带图灵机的计算过程直接编码为二维表格，其中行表示配置，列用于强制执行转换的合法性。
• 使用固定正则表达式 $ C $ 在 $ \{0,1\} $ 上，以在填字网格中模拟转换函数和磁头移动。
• 采用类似 Cook-Levin 定理的构造方法，将 SAT 归约至 $(R,C)$-填字问题，证明在一元编码下问题为 NP-完全。
• 证明当维度以一元编码给出时，即使所有行和列表达式相同，问题仍为 NP-完全。
• 表明若维度以二进制编码，则问题变为 NEXP-完全；若维度混合使用一元与二进制编码，则问题变为 PSPACE-完全。
• 通过从停机问题的归约，证明在任意大小网格下解的存在性问题不可判定，即使 $ C $ 固定。

实验结果

研究问题

• RQ1 当所有行表达式相同且所有列表达式固定为单一 $ C $，且维度以一元编码时，$(R,C)$-填字游戏的解是否存在问题是否为 NP-完全？
• RQ2 确定是否存在 $(E,E)$-填字游戏的问题是否为 NP-难，即使所有表达式相同？
• RQ3 对于哪些固定正则表达式 $ C $，$(R,C)$-填字游戏的存在性问题为不可判定？
• RQ4 当维度以二进制而非一元编码时，$(R,C)$-填字游戏存在性问题的复杂性如何？
• RQ5 是否存在 $(E,E)$-填字游戏的解不可判定，即使 $ E $ 固定？

主要发现

• 存在一个固定的正则表达式 $ C $，其定义在 $ \{0,1\} $ 上，使得在维度以一元编码时，$(R,C)$-填字游戏的存在性问题为 NP-完全。
• 即使所有表达式相同，确定是否存在 $(E,E)$-填字游戏的问题仍为 NP-难。
• 对于固定的 $ C $，是否存在任意大小的 $(R,C)$-填字游戏的问题不可判定，且等价于停机问题。
• 是否存在任意大小的 $(E,E)$-填字游戏的问题也不可判定，且等价于停机问题。
• 当维度以二进制编码时，$(R,C)$-填字游戏存在性问题在多项式时间归约下变为 NEXP-完全。
• 当一维以一元编码，另一维以二进制编码时，问题变为 PSPACE-完全。