[论文解读] The Complexity of the Consistency and N-representability Problems for Quantum States

Liu, Yi-Kai|ArXiv.org|Dec 18, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 76被引用 20

一句话总结

本文確立了量子多體物理中兩個基本問題的計算複雜度：局部密度矩陣的一致性問題與N-可表徵性問題。基於具有成員資格查詢的凸優化，利用Oracle歸約，證明這兩個問題均為QMA-完全問題，首次在局域哈密頓量框架之外提出QMA-完全問題，並解決了量子化學與量子資訊理論中長期存在的開放性問題。

ABSTRACT

QMA (Quantum Merlin-Arthur) is the quantum analogue of the class NP. There are a few QMA-complete problems, most notably the ``Local Hamiltonian'' problem introduced by Kitaev. In this dissertation we show some new QMA-complete problems. The first one is ``Consistency of Local Density Matrices'': given several density matrices describing different (constant-size) subsets of an n-qubit system, decide whether these are consistent with a single global state. This problem was first suggested by Aharonov. We show that it is QMA-complete, via an oracle reduction from Local Hamiltonian. This uses algorithms for convex optimization with a membership oracle, due to Yudin and Nemirovskii. Next we show that two problems from quantum chemistry, ``Fermionic Local Hamiltonian'' and ``N-representability,'' are QMA-complete. These problems arise in calculating the ground state energies of molecular systems. N-representability is a key component in recently developed numerical methods using the contracted Schrodinger equation. Although these problems have been studied since the 1960's, it is only recently that the theory of quantum computation has allowed us to properly characterize their complexity. Finally, we study some special cases of the Consistency problem, pertaining to 1-dimensional and ``stoquastic'' systems. We also give an alternative proof of a result due to Jaynes: whenever local density matrices are consistent, they are consistent with a Gibbs state.

研究动机与目标

• 確定局部密度矩陣一致性問題的計算複雜度，此問題由Aharonov提出，用於評估局部量子態是否可從全域量子態推導而出。
• 描述N-可表徵性問題的複雜度，此問題對量子化學方法（如縮放薛丁格方程）至關重要。
• 將QMA-完全性的理解延伸至局域哈密頓量問題之外，提供新的、結構上不同的QMA-完全問題。
• 分析特殊情形，如一維與Stoquastic系統，並利用量子資訊工具重新推導Jaynes的最大熵原理。

提出的方法

• 從局域哈密頓量問題到一致性問題使用Oracle歸約，並利用Yudin與Nemirovskii開發的具有成員資格查詢之凸優化演算法。
• 將局部密度矩陣表示為在量子比特子集上Pauli算符的期望值，將一致性條件重新表述為全域密度矩陣上的一組線性約束。
• 證明局部密度矩陣的一致性等價於在相應子集上匹配所有Pauli期望值，利用Hilbert-Schmidt內積下Pauli矩陣的正交性。
• 將相同的歸約框架應用於證明費米子局域哈密頓量與N-可表徵性問題亦為QMA-完全問題。
• 使用對偶論證與凸幾何證明：若局部密度矩陣一致，則其必與Gibbs態一致，從而恢復Jaynes原理。
• 運用量子資訊理論與量子複雜度理論技術分析特殊類別，包括一維與Stoquastic系統。

实验结果

研究问题

• RQ1 判斷一組小規模量子比特子集上的局部密度矩陣是否與全域量子態一致，此問題是否具有計算困難性？
• RQ2 在量子化學中，特別是費米子系統中，N-可表徵性問題的複雜度為何？
• RQ3 一致性問題能否被歸約為具有成員資格查詢的凸優化問題？對QMA等複雜度類有何影響？
• RQ4 是否存在其他歸約方式（如映射歸約）在局域哈密頓量與一致性問題之間？
• RQ5 局域哈密頓量的QMA-完全性是否可推廣至近似版本，類比於古典的PCP定理？

主要发现

• 即使每個子集僅包含常數個量子比特，局部密度矩陣的一致性問題仍為QMA-完全問題，確立其為與局域哈密頓量問題結構上不同的基本QMA-完全問題。
• 費米子系統的N-可表徵性問題為QMA-完全問題，解決了量子化學中長期存在的開放性問題，並驗證了基於縮放薛丁格方程的現代數值方法的複雜度。
• 費米子局域哈密頓量問題亦為QMA-完全問題，將量子複雜度理論的適用範圍延伸至費米子多體系統。
• 本文提供了Jaynes最大熵原理的新證明：只要局部密度矩陣一致，則其必與Gibbs態一致，此結果透過凸對偶與Pauli矩陣分解推導而出。
• 一維與Stoquastic系統等特殊情形的複雜度與一般情況相同，儘管近期研究顯示在特定條件下，平面與一維系統可能存在PTAS。
• 從局域哈密頓量到一致性的歸約依賴於具有成員資格查詢的凸優化，而此查詢的精確度要求被識別為未來研究的關鍵開放問題。