[论文解读] The complexity of the index sets of $\aleph_0$-categorical theories and of Ehrenfeucht theories

Steffen Lempp, Theodore A. Slaman|ArXiv.org|Oct 26, 2006

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 8被引用 11

一句话总结

本文对一阶理论的索引集的可计算性理论复杂度进行了分类，表明 $ℓ_0$-范畴性是 $Π^0_3$-完全的，而成为艾伦费鲁特理论则是 $Π^1_1$-完全的。此外，本文还证明了具有连续统多模型的性质是 $Σ^1_1$-难的，这对仅具有可判定或可计算模型的理论的复杂度具有影响。

ABSTRACT

We classify the computability-theoretic complexity of two index sets of classes of first-order theories: We show that the property of being an $\aleph_0$-categorical theory is $Π^0_3$-complete; and the property of being an Ehrenfeucht theory $Π^1_1$-complete. We also show that the property of having continuum many models is $Σ^1_1$-hard. Finally, as a corollary, we note that the properties of having only decidable models, and of having only computable models, are both $Π^1_1$-complete.

研究动机与目标

• 对一阶理论的索引集的可计算性理论复杂度进行分类，特别是与模型数量相关的性质。
• 确定 $ℓ_0$-范畴性和艾伦费鲁特性等性质在算术层次和解析层次中的确切可定义层级。
• 为具有连续统多模型的理论以及仅具有可判定或可计算模型的理论，建立复杂度的上下界。
• 通过从已知完全问题的约化来证明层次中的完全性结果。
• 证明仅具有可判定模型的性质是 $Π^1_1$-完全的，将分析扩展至模型论可计算性。

提出的方法

• 使用 Ryll-Nardzewski 定理通过有限 $n$-类型刻画 $ℓ_0$-范畴性理论，将该性质转化为 $Π^0_3$ 公式。
• 从索引 $e$ 构造一个统一可计算的理论 $T_e$，使得 $T_e$ 是 $ℓ_0$-范畴的当且仅当对所有 $n$，$W_{f(n)}$ 是有限的，利用一个 $Π^0_3$-完全的谓词。
• 应用 Spector-Gandy 定理，证明存在有限多个超算术表示的模型且其同构关系相对于这些表示成立，这是一个 $Π^1_1$ 条件。
• 使用 Reed 的构造将可计算树编码进完全可判定理论中，使得树的路径性质可转化为模型数量的性质。
• 通过树到理论的编码，建立一个同时的多一约化 $(Π^1_1, \Sigma^1_1) \leq_m (\text{Ehrenfeucht}, \text{Continuum})$。
• 使用 Scott 句子和可 admitted 集合内的同构关系，分析可数模型的数量及其超算术复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在算术层次中，$ℓ_0$-范畴性理论的索引集的确切复杂度是什么？
• RQ2 在解析层次中，艾伦费鲁特理论的索引集的复杂度是什么？
• RQ3 一个理论具有连续统多对非同构的可数模型的性质有多复杂？
• RQ4 仅具有可判定模型或仅具有可计算模型的性质是否也是 $Π^1_1$-完全的？
• RQ5 是否可以在固定理论语言的同时，保持复杂度结果不变？

主要发现

• $ℓ_0$-范畴性理论的索引集是 $Π^0_3$-完全的，确立了其在算术层次中的精确复杂度。
• 艾伦费鲁特理论的索引集是 $Π^1_1$-完全的，表明该性质在解析层次中复杂度达到极限。
• 具有连续统多模型的性质是 $Σ^1_1$-难的，表明其至少与任何关于实数的存量化性质一样复杂。
• 仅具有可判定模型的性质是 $Π^1_1$-完全的，仅具有可计算模型的性质也是如此。
• 通过从树构造理论 $T_e$，可确保 $T_e$ 恰好有三个模型当且仅当该树没有无限路径，且具有连续统多模型当且仅当该树有无穷多条路径。
• 通过为非树节点添加常量和关系符号，可固定理论语言，同时保持复杂度结果不变。