[论文解读] The Complexity of Tree Partitioning

Zhao An, Qilong Feng+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本论文证明了最大度为3的树的树划分问题与平衡树划分问题均为NP完全问题，解决了长期悬而未决的开放问题。此外，论文还证明了这两个问题均为W[1]-完全问题，并提出了一种时间复杂度为2^O(√n)的动态规划算法，该算法通过使用解空间的紧凑σ-表示实现子指数时间复杂度。

ABSTRACT

Given a tree $T$ on $n$ vertices, and $k, b, s_1, \ldots, s_b \in N$, the Tree Partitioning problem asks if at most $k$ edges can be removed from $T$ so that the resulting components can be grouped into $b$ groups such that the number of vertices in group $i$ is $s_i$, for $i =1, \ldots, b$. The case when $s_1=\cdots =s_b =n/b$, referred to as the Balanced Tree Partitioning problem, was shown to be NP-complete for trees of maximum degree at most 5, and the complexity of the problem for trees of maximum degree 4 and 3 was posed as an open question. The parameterized complexity of Balanced Tree Partitioning was also posed as an open question in another work. In this paper, we answer both open questions negatively. We show that Balanced Tree Partitioning (and hence, Tree Partitioning) is NP-complete for trees of maximum degree 3, thus closing the door on the complexity of Balanced Tree Partitioning, as the simple case when $T$ is a path is in P. In terms of the parameterized complexity of the problems, we show that both Balanced Tree Partitioning and Tree Partitioning are $W[1]$-complete. Finally, using a compact representation of the solution space for an instance of the problem, we present a dynamic programming algorithm for Tree Partitioning (and hence, for Balanced Tree Partitioning) that runs in subexponential-time $2^{O(\sqrt{n})}$, adding a natural problem to the list of problems that can be solved in subexponential time.

研究动机与目标

• 解决关于最大度为3和4的树的平衡树划分问题复杂性的开放问题。
• 确定以k（需删除的边数）为参数时，树划分问题与平衡树划分问题的参数复杂性。
• 设计一种可在子指数时间2^O(√n)内求解树划分问题的精确算法，优于传统的指数时间方法。
• 通过σ-表示提供解空间的紧凑表示，以支持树上高效动态规划。

提出的方法

• 通过从3-划分问题规约，证明了最大度为3的树的NP完全性，使用复杂的构件与正确性证明。
• 在树分解上采用动态规划方法，其中每个节点维护一个包含可能配置(k, X, s)的表Γ_v，X为组大小的σ-表示。
• 分别计算表Γ_i^-与Γ_i^+，以处理与子节点相连的边是否被切割的情况，并整合父节点与子树的结果。
• 使用Check-Realizability子程序验证给定的σ-表示X与组大小列表Y是否可被实现为有效组件分组。
• 利用σ-表示的数量被限制在2^O(√n)以内的事实，尽管组大小组合数量庞大，仍能实现子指数时间计算。
• 通过枚举子节点与父节点间k、X、s的合法组合，在每个节点合并表，利用归纳不变量确保正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大度为3的树的平衡树划分问题是否为NP完全问题？
• RQ2 当以k（需移除的边数）为参数时，树划分问题与平衡树划分问题的参数复杂性如何？
• RQ3 树划分问题是否可在子指数时间内求解，特别是2^O(√n)时间内？
• RQ4 解空间的紧凑表示是否能支持树上高效动态规划？
• RQ5 在标准参数化下，该问题是否为W[1]-完全问题？这对固定参数可追踪性有何含义？

主要发现

• 平衡树划分问题在最大度为3的树上为NP完全问题，填补了先前研究留下的复杂性空白。
• 树划分问题与平衡树划分问题均为W[1]-完全问题，解决了参数复杂性领域的一个开放问题。
• 即使将参数扩展为组合参数(b, k)，其中b为组数，这两个问题仍保持W[1]-难。
• 动态规划算法可在时间2^O(√n)内求解树划分问题，该时间复杂度为子指数，显著优于传统指数时间方法。
• 该算法使用组大小分布的σ-表示，将配置数限制在2^O(√n)以内，这是实现子指数时间复杂度的关键。
• 通过在每个树节点的表Γ_v上维护归纳不变量，确保了算法的正确性，从而探索了所有有效划分。