[论文解读] The compositional inverse of a class of linearized permutation polynomials over $\mathbb{F}_{2^n}$, $n$ odd

Baofeng Wu|arXiv (Cornell University)|May 7, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文明确确定了在 $n$ 为奇数时，$\mathbb{F}_{2^n}$ 上一类特定线性化置换多项式的复合逆，其形式为 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$，且满足 $\operatorname{tr}(1/a) = 1$。通过迪克森矩阵与迹符号的性质，证明其逆为 $P^{-1}(x) = B_a(x) + \operatorname{tr}(x)$，其中 $B_a(x)$ 是一个系数以嵌套迹表达式和特定指标集乘积表示的线性化多项式。

ABSTRACT

In this paper, the compositional inverses of a class of linearized permutation polynomials of the form $P(x)=x+x^2+ r(\frac{x}{a})$ over the finite field $\mathbb{F}_{2^n}$ for an odd positive integer $n$ are explicitly determined.

研究动机与目标

• 推导 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上一类线性化置换多项式在 $n$ 为奇数时的复合逆的显式闭式表达式。
• 解决长期存在的置换多项式复合逆计算难题，特别是针对代数形式简单但逆形式复杂的多项式。
• 建立一种系统化方法，利用迹符号与矩阵行列式恒等式表达 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$ 的逆。

提出的方法

• 引入符号记号 $c\langle i_1, \dots, i_t \rangle = \sum_{j=1}^t c^{2^{i_j}}$，以紧凑方式表示域元素的弗罗贝尼乌斯幂次迭代和。
• 应用迪克森矩阵理论，将线性化 PP 的复合逆与关联矩阵的逆联系起来，利用定理 1.1：$D_{L^{-1}} = D_L^{-1}$。
• 利用拉普拉斯展开与行列式恒等式计算逆多项式系数，将问题简化为计算迪克森矩阵特定余子式。
• 通过迹函数的递归分解与对称性，简化涉及 $a[\cdot]$ 项的复杂行列式表达式。
• 通过递归关系与迹恒等式，推导出 $B_a(x)$ 系数 $b_i$ 的显式公式，特别针对 $i = 0, 2, \dots, n-1$ 与奇数 $i$。
• 通过迹与范数性质验证系数恒等式，确认 $P(P^{-1}(x)) \equiv x \mod (x^{2^n} - x)$，从而验证逆的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n$ 为奇数且 $\operatorname{tr}(1/a) = 1$ 时，如何显式表达 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上线性化置换多项式 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$ 的复合逆？
• RQ2 该逆多项式系数的结构为何？能否利用迹函数与对称指标集以闭式表示？
• RQ3 能否利用与 $P(x)$ 关联的迪克森矩阵的逆，推导出此类线性化 PP 的复合逆的一般公式？
• RQ4 迹映射与弗罗贝尼乌斯自同态的对称性与代数性质，如何在此背景下简化行列式计算？

主要发现

• 复合逆 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$ 显式给出为 $P^{-1}(x) = B_a(x) + \operatorname{tr}(x)$，其中 $B_a(x) = \sum_{i=0}^{n-1} b_i x^{2^i}$，且系数 $b_i$ 以迹符号与指标集乘积表示。
• 对于偶数 $i$，系数 $b_0 = \frac{1}{a}\langle 2,4,6,\dots,n-1 \rangle$；对于奇数 $i$，$b_i = \frac{1}{a}\left(1 + \frac{1}{a}\langle 1,3,\dots,i,i+1,i+3,\dots,n-1 \rangle\right)$。
• 逆矩阵的系数 $\tilde{p}_i$ 通过拉普拉斯展开推导，且对偶数 $i$ 满足 $\tilde{p}_i = \frac{1}{a}\left(1 + \frac{1}{a}\langle 1,3,\dots,i,i+1,i+3,\dots,n-1 \rangle\right)$，奇数 $i$ 有类似形式。
• 逆矩阵元素 $\tilde{p}_i$ 以范数 $\mathrm{N}(a)$ 与乘积 $a[\cdot]$ 表示，例如当 $i = n-2$ 时，$\tilde{p}_i = \frac{1}{a}\left(1 + \frac{1}{a}\langle 1,3,\dots,n-2,n-1 \rangle\right)$。
• 最终的逆多项式满足 $P(P^{-1}(x)) \equiv x \mod (x^{2^n} - x)$，通过行列式与迹恒等式确认其正确性。
• 该方法成功推广至所有奇数 $n$，在 $\operatorname{tr}(1/a) = 1$ 条件下，为逆提供统一公式。