[论文解读] The compositional inverses of linearized permutation binomials over finite fields

Baofeng Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文为有限域 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上形如 $ L_r(x) = x^{q^r} + ax $ 的线性化置换三项式提供了显式公式，其 compositional inverse 通过一种约化技术实现，该技术将问题转化为计算 $ L_1(x) $ 的逆，而后者可通过定理 1.1 有效求解。关键结果是：在 $ (-1)^{n/d} \mathrm{N}_{n:d}(a) \neq 1 $ 条件下（其中 $ d = \gcd(n,r) $），$ L_r^{-1}(x) $ 的闭式表达式以范数映射和 $ a $ 的幂次表示。

ABSTRACT

Let $q$ be a prime power and $n$ and $r$ be positive integers. It is well known that the linearized binomial $L_r(x)=x^{q^r}+ax\in\mathbb{F}_{q^n}[x]$ is a permutation polynomial if and only if $(-1)^{n/d}a^{{(q^n-1)}/{(q^{d}-1)}} eq 1$ where $d=(n,r)$. In this paper, the compositional inverse of $L_r(x)$ is explicitly determined when this condition holds.

研究动机与目标

• 确定当 $ L_r(x) = x^{q^r} + ax $ 在 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上为置换多项式时，其复合逆的显式表达式。
• 克服与 $ L_r(x) $ 相关的大维迪克森矩阵的行列式与余子式计算困难。
• 将 $ L_r(x) $ 的一般情形约化为更简单的 $ L_1(x) $ 情形，从而借助已知结果实现显式求逆。
• 将该方法推广至有限域上其他类别的线性化置换多项式。
• 提供一种构造性方法以计算逆多项式，避免直接计算大型矩阵的逆。

提出的方法

• 通过利用在 $ \gcd(n,r) = d $ 条件下的域自同态与同构性质，将 $ L_r(x) $ 的问题约化为 $ L_1(x) $ 的情形。
• 应用定理 1.1，该定理将线性化置换多项式的复合逆与关联迪克森矩阵的逆联系起来。
• 显式计算 $ L_1(x) $ 的迪克森矩阵第一列的余子式，从而导出其逆的闭式表达式。
• 使用范数映射 $ \mathrm{N}_{n:d}(a) = a^{(q^n - 1)/(q^d - 1)} $ 来表达置换条件及逆系数。
• 推导出逆多项式 $ L_r^{-1}(x) $ 作为 $ x^{q^{ir}} $ 项的线性组合，其系数包含 $ (-1)^i \mathrm{N}(a) a^{-\frac{q^{i+1} - 1}{q - 1}} $。
• 将该方法推广至扩展情形：当 $ \gcd(n,t) = 1 $ 时，利用基扩展与矩阵置换论证，将 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上的线性化置换多项式 $ L(x) $ 扩展为 $ \mathbb{F}_{q^{nt}} $ 上的置换多项式 $ \bar{L}(x) = \sum_{i=0}^{n-1} a_{ti} x^{q^{ti}} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准矩阵求逆方法不可行时，如何显式计算有限域 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上线性化置换三项式 $ L_r(x) = x^{q^r} + ax $ 的复合逆？
• RQ2 鉴于 $ L_r(x) $ 的依赖关系涉及 $ r $ 和 $ n $，可应用何种结构约化以简化其逆的计算？
• RQ3 是否可从 $ L_1(x) $ 的逆推导出 $ L_r(x) $ 的逆？该约化在何种条件下成立？
• RQ4 范数映射 $ \mathrm{N}_{n:d}(a) $ 在刻画逆与确保置换性质方面起何作用？
• RQ5 该方法在三项式情形下所采用的技术，可在多大程度上推广至其他类别的线性化置换多项式（如三项式或更高次形式）？

主要发现

• 在 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上，$ L_r(x) = x^{q^r} + ax $ 的复合逆显式给出为 $ L_r^{-1}(x) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i x^{q^{ir}} $，其中系数 $ c_i $ 以 $ a $、范数 $ \mathrm{N}(a) $ 及 $ q $ 的幂次表示。
• 对于 $ 1 \leq i \leq n-2 $，系数 $ c_i = (-1)^i \mathrm{N}(a) a^{-\frac{q^{i+1} - 1}{q - 1}} $，且 $ c_{n-1} = (-1)^{n-1} $，其中 $ \mathrm{N}(a) = a^{(q^n - 1)/(q - 1)} $。
• 当且仅当 $ (-1)^{n/d} \mathrm{N}_{n:d}(a) \neq 1 $ 时，逆存在，其中 $ d = \gcd(n,r) $，此结果验证了已知的置换判别准则。
• 该方法将 $ L_r(x) $ 的一般情形约化为 $ r=1 $ 的情形，此时定理 1.1 可通过余子式计算获得可处理的逆。
• 已建立一个推广结果：若 $ L(x) $ 是 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上的线性化置换多项式，则当 $ \gcd(n,t) = 1 $ 时，多项式 $ \bar{L}(x) = \sum_{i=0}^{n-1} a_{ti} x^{q^{ti}} $ 是 $ \mathbb{F}_{q^{nt}} $ 上的置换多项式。
• 结果表明，线性化置换多项式的逆可利用范数映射与代数恒等式显式构造，而无需直接进行矩阵求逆。