[论文解读] The Compound Class of Linear Failure Rate-Power Series Distributions: Model, Properties and Applications

Eisa Mahmoudi, Ali Akbar Jafari|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2014

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文提出了线性失效速率-幂级数（LFRPS）分布，这是一种灵活的复合分布类，通过将线性失效速率分布与幂级数分布结合，用于建模复杂的失效率形状。该模型支持递增、递减、浴盆形、倒浴盆形以及先增后减再增的失效速率，通过EM算法实现高效估计，并在拟合真实数据方面优于子模型和现有分布。

ABSTRACT

We introduce in this paper a new class of distributions which generalizes the linear failure rate (LFR) distribution and is obtained by compounding the LFR distribution and power series (PS) class of distributions. This new class of distributions is called the linear failure rate-power series (LFRPS) distributions and contains some new distributions such as linear failure rate geometric (LFRG) distribution, linear failure rate Poisson (LFRP) distribution, linear failure rate logarithmic (LFRL) distribution, linear failure rate binomial (LFRB) distribution and Raylight-power series (RPS) class of distributions. Some former works such as exponential-power series (EPS) class of distributions, exponential geometric (EG) distribution, exponential Poisson (EP) distribution and exponential logarithmic (EL) distribution are special cases of the new proposed model. The ability of the LFRPS class of distributions is in covering five possible hazard rate function i.e., increasing, decreasing, upside-down bathtub (unimodal), bathtub and increasing-decreasing-increasing shaped. Several properties of the LFRPS distributions such as moments, maximum likelihood estimation procedure via an EM-algorithm and inference for a large sample, are discussed in this paper. In order to show the flexibility and potentiality of the new class of distributions, the fitted results of the new class of distributions and some its submodels are compared using a real data set.

研究动机与目标

• 通过将线性失效速率（LFR）分布与幂级数（PS）分布复合，开发一种新的寿命分布族。
• 实现对非单调失效速率行为（如浴盆形、单峰形及先增后减再增形状）的建模，这些形状在可靠性与生存分析中常见。
• 提供一个统一框架，将指数-幂级数、威布尔-幂级数以及扩展LFR等知名分布作为特例包含在内。
• 利用EM算法开发高效的估计程序，以在潜变量存在的情况下实现最大似然估计。
• 通过真实数据应用与子模型及现有分布的比较，展示该模型的优越性。

提出的方法

• 通过将线性失效速率（LFR）分布与幂级数（PS）分布复合来构建LFRPS分布，其中组件数量N服从具有概率质量函数 $ P(N=n) = \frac{a_n \theta^n}{C(\theta)} $ 的PS分布。
• 推导出相应的生存函数为 $ S(x) = \frac{C(\theta G(x))}{C(\theta)} $，其中 $ G(x) = 1 - \exp(-a x - \frac{b}{2} x^2) $ 是LFR的CDF。
• 采用EM算法进行最大似然估计，E步计算潜变量的条件期望，M步通过迭代求根法更新参数 $ a $、$ b $ 和 $ \theta $。
• 利用随机表示 $ Y = \min(X_1, \dots, X_N) $，对具有相同LFR分布组件的串联系统进行建模。
• 通过蒙特卡洛模拟验证算法，评估收敛性与估计精度。
• 通过指定PS分布（几何、泊松、对数、二项分布），推导出LFRG、LFRP、LFRL、LFRB及瑞利-幂级数（RPS）等特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合LFR与PS分布的复合分布类是否能够建模多样的失效率形状，包括浴盆形与单峰形等非单调模式？
• RQ2 与现有模型（如指数-幂级数和扩展LFR分布）相比，LFRPS模型在拟合真实寿命数据方面表现如何？
• RQ3 EM算法在估计LFRPS模型参数方面的性能如何，特别是在收敛性与准确性方面？
• RQ4 在不同参数配置下，LFRPS分布的解析性质（如矩与失效率行为）如何？
• RQ5 LFRPS族是否能够统一并推广现有的寿命分布（如EG、EP、EL与WG），若能，其条件是什么？

主要发现

• LFRPS族支持五种不同的失效率形状：递增、递减、倒浴盆形（单峰形）、浴盆形以及先增后减再增形，使其在可靠性与生存建模中具有高度灵活性。
• EM算法确保了参数估计的稳定与收敛，且理论证明了在每次迭代中 $ a $、$ b $ 和 $ \theta $ 的得分方程具有唯一根。
• LFRPS模型将知名分布（如指数-幂级数（EPS）、扩展LFR（ELF）和瑞利-幂级数（RPS））作为特例，验证了其通用性。
• 模拟研究证实EM算法的有效性，其在多种情景下均能准确且一致地恢复参数。
• 在真实数据应用中，LFRPS模型及其子模型（如LFRG、LFRP）在AIC、BIC及Kolmogorov-Smirnov检验统计量方面优于经典模型（如指数分布、威布尔分布和LFR分布）。
• 该模型在真实数据上表现出强劲的实证性能，尤其在捕捉生物与工业系统中常见的非单调失效速率方面表现优异。