[论文解读] The computation of disconnected bifurcation diagrams

Patrick E. Farrell, Casper H. L. Beentjes+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 23被引用 13

一句话总结

本文提出了一种名为去缩放延续（deflated continuation）的新算法，通过去缩放技术消除已知解，使牛顿法能够在不依赖分岔点检测或昂贵的特征系统计算的情况下，计算出不连通的分岔图。该方法成功恢复了标准切换延续法遗漏的分支，包括来自退化（偶数重数）分岔的分支，并在存在良好预条件子时，对大规模PDE离散化问题表现出稳健的收敛性。

ABSTRACT

Arclength continuation and branch switching are enormously successful algorithms for the computation of bifurcation diagrams. Nevertheless, their combination suffers from three significant disadvantages. The first is that they attempt to compute only the part of the diagram that is continuously connected to the initial data; disconnected branches are overlooked. The second is that the subproblems required (typically determinant calculation and nullspace construction) are expensive and hard to scale to very large discretizations. The third is that they can miss connected branches associated with nonsimple bifurcations, such as when an eigenvalue of even multiplicity crosses the origin. Without expert knowledge or lucky guesses, these techniques alone can paint an incomplete picture of the dynamics of a system. In this paper we propose a new algorithm for computing bifurcation diagrams, called deflated continuation, that is capable of overcoming all three of these disadvantages. The algorithm combines classical continuation with a deflation technique that elegantly eliminates known branches from consideration, allowing the discovery of disconnected branches with Newton's method. Deflated continuation does not rely on any device for detecting bifurcations and does not involve computing eigendecompositions; all subproblems required in deflated continuation can be solved efficiently if a good preconditioner is available for the underlying nonlinear problem. We prove sufficient conditions for the convergence of Newton's method to multiple solutions from the same initial guess, providing insight into which unknown branches will be discovered. We illustrate the success of the method on several examples where standard techniques fail.

研究动机与目标

• 解决标准弧长延续和分支切换在发现不连通或退化分岔分支时的失败问题。
• 消除对昂贵的分岔点检测（如计算雅可比行列式的行列式或零空间）的需求。
• 开发一种可扩展的方法，用于计算完整的分岔图，包括存在偶数重数特征值交叉的情况。
• 通过使用去缩放技术的牛顿法，实现在单个初始猜测下收敛到多个解。
• 为大规模PDE分岔分析提供一种稳健且与预条件子兼容的框架。

提出的方法

• 去缩放延续将弧长延续与一种去缩放技术相结合，该技术通过修改非线性残差来排除已知解。
• 在分支上每个参数值处，该算法对牛顿系统应用去缩放，防止收敛到已发现的解。
• 去缩放通过牛顿迭代中的有理修正项实现，对靠近已知解的位置施加惩罚。
• 该方法仅依赖于求解原始非线性系统及其去缩放变体，避免使用增广系统或特征分解。
• 通过基于牛顿法在去缩放下行为的充分条件，分析了收敛到多个解的机制。
• 该算法沿主分支迭代应用，通过去缩放步骤在固定参数值处发现新的不连通分支。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以设计一种延续方法，在不依赖分岔点检测的情况下发现不连通的分岔分支？
• RQ2 在已知解存在的情况下，如何调整牛顿法使其能从同一初始猜测收敛到多个解？
• RQ3 在分岔问题中，牛顿法在去缩放下实现多收敛的充分条件是什么？
• RQ4 去缩放延续能否恢复因偶数重数特征值交叉而被切换延续遗漏的分支？
• RQ5 去缩放延续在具有高效预条件子的大规模PDE离散化问题中是否具备可扩展性？

主要发现

• 去缩放延续成功恢复了Mittelmann问题的完整分岔图，包括因退化特征值而被切换延续遗漏的分支。
• 该方法发现了图4.6中的蓝色方块分支，其对应于λ ≈ 0.2724处的双翻转分岔，而切换延续在此处因偶数重数而失效。
• 去缩放延续无需计算雅可比行列式的行列式或零空间，从而避免了切换延续的计算成本和失败模式。
• 该算法在Mittelmann问题的1600个有限元单元离散化上表现出稳健收敛，固定牛顿容差下仅需102次迭代。
• 该方法对连通和不连通分岔图均有效，包括因对称性诱导的退化性而使切换延续失效的情况。
• 在使用可扩展预条件子时，去缩放延续适用于大规模PDE问题，特别适合超级计算机环境，因为它仅需求解原始和去缩放牛顿系统。