[论文解读] The computation of Kostka Numbers and Littlewood-Richardson Coefficients is #P-complete

Hariharan Narayanan|ArXiv.org|Jan 12, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文证明了计算 Kostka 数和 Littlewood-Richardson 系数是 #P-完全的，从而表明除非 #P ⊆ P，否则这些问题是不存在多项式时间算法的。证明通过 Knuth 对应将 #P-完全的 2×k 列联表计数问题归约到 Kostka 数，再通过表格之间的双射将 Kostka 数归约到 Littlewood-Richardson 系数。

ABSTRACT

Kostka numbers and Littlewood-Richardson coefficients play an essential role in the representation theory of the symmetric groups and the special linear groups. There has been a significant amount of interest in their computation. The issue of their computational complexity has been a question of folklore, but was asked explicitly by E. Rassart. We prove that the computation of either quantity is #P-complete. The reduction to computing Kostka numbers, is from the #P-complete problem of counting the number of 2 x k contingency tables having given row and column sums. The main ingredient in this reduction is a correspondence discovered by D. E. Knuth. The reduction to the problem of computing Littlewood-Richardson coefficients is from that of computing Kostka numbers.

研究动机与目标

• 解决关于 Kostka 数和 Littlewood-Richardson 系数计算复杂性的长期悬而未决问题。
• 表明计算这些组合不变量是 #P-完全的，意味着除非 P = NP，否则不存在高效的精确算法。
• 提供从计数 2×k 列联表这一 #P-完全问题到 Kostka 数的正式归约，利用 Knuth 对应。
• 通过标准表与 LR 斜表之间的双射，将 Kostka 数的归约扩展到 Littlewood-Richardson 系数。
• 澄清这些系数在表示论和代数组合学中的复杂性状态。

提出的方法

• 从具有给定行和列和的 2×k 列联表计数这一 #P-完全问题，归约到计算 Kostka 数。
• 应用 Knuth 关于列联表与具有指定内容的表对之间的对应关系。
• 构造形状为 λ 且内容为 μ 的表与形状为 λ*α 且内容为 ν 的 LR 斜表之间的双射，其中 α 是一个特定的分拆。
• 利用此类 LR 斜表的数量等于 Littlewood-Richardson 系数 c^ν_{λα} 的事实。
• 证明该归约在输入规模下保持计数并可在多项式时间内运行。
• 通过传递性归约，确立 Kostka 数与 Littlewood-Richardson 系数的 #P-完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kostka 数的计算是否是 #P-完全的？
• RQ2 即使在如两行形状等受限情况下，Littlewood-Richardson 系数的计算是否也是 #P-完全的？
• RQ3 能否在多项式时间内将计数 2×k 列联表的问题归约到 Kostka 数的计算？
• RQ4 是否存在一个保持内容与形状的、在表与 LR 斜表之间的多项式时间双射？
• RQ5 这些系数的 #P-完全性是否排除了完全多项式随机近似方案（FPRAS）的存在？

主要发现

• Kostka 数 K_λμ 的计算是 #P-完全的，这是通过从计数 2×k 列联表的多项式时间归约所证明的。
• Littlewood-Richardson 系数 c^ν_{λα} 的计算是 #P-完全的，即使当 λ 仅有两行时也是如此。
• 存在一个从形状为 λ 且内容为 μ 的表与形状为 λ*α 且内容为 ν 的 LR 斜表之间的双射，其中 α 是分拆 (1,2,…,ℓ)，ℓ 为行数。
• 该双射证明了当 ν = μ + α 时，K_λμ = c^ν_{λα}，从而建立了从 Kostka 数到 Littlewood-Richardson 系数的归约。
• 这些归约可在多项式时间内计算，保持计数，并确保两个问题的 #P-完全性。
• 结果表明，目前尚无已知的完全多项式随机近似方案（FPRAS）适用于这些系数，尽管其存在性被推测。