[论文解读] The Computational Complexity of Integer Programming with Alternations

Danny Nguyen, Igor Pak|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用 7

一句话总结

该论文证明了具有三个交替量词的整数规划（∃x∀y∃z）即使在变量数量固定的情况下也是NP-完全的，从而解决了长期悬而未决的开放问题。作者通过从NP-完全的‘良好同时逼近’（GSA）问题进行约化来证明这一点，并进一步表明，两个三维多面体差集（Q\P）的投影中整数点的计数问题是#P-完全的，这与Barvinok和Woods关于凸集投影的多项式时间结果形成鲜明对比。

ABSTRACT

We prove that integer programming with three alternating quantifiers is NP-complete, even for a fixed number of variables. This complements earlier results by Lenstra and Kannan, which together say that integer programming with at most two alternating quantifiers can be done in polynomial time for a fixed number of variables. As a byproduct of the proof, we show that for two polytopes P, Q in R^4, counting the projection of integer points in Q\P is #P-complete. This contrasts the 2003 result by Barvinok and Woods, which allows counting in polynomial time the projection of integer points in P and Q separately.

研究动机与目标

• 为Kannan于1992年提出的关于具有三个交替量词的整数规划是否可在多项式时间内判定的问题提供解答。
• 确立在固定维数下具有三个交替量词的整数规划的计算复杂性。
• 分析非凸集投影中整数点计数的复杂性，特别是三维多面体Q\P的情形。
• 将凸多面体投影的可解性（Barvinok-Woods结果）与它们补集投影的不可解性进行对比。

提出的方法

• 通过从NP-完全的‘良好同时逼近’（GSA）问题约化，证明三重交替量词整数规划的NP-完全性。
• 利用基于斐波那契数的几何构造，将数论约束编码进多面体系统。
• 应用Doignon–Bell–Scarf定理，将具有大量不等式的系统约化为双量词情形下的有限多个子问题。
• 证明在双量词情形下，子问题的合取与全称量词可交换，但在三量词情形下不成立，从而破坏了约化过程。
• 构造R^3中的多面体，使其投影差集Q\P编码了困难的计数问题。
• 运用抽屉原理和凸位置论证，证明投影复杂度结果中维数边界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定维数下，具有三个交替量词的整数规划是否可在多项式时间内判定？
• RQ2 能否在多项式时间内计算两个三维多面体Q\P的差集的投影中整数点的数量？
• RQ3 在Presburger公式中，析取式是否相对于纯不等式系统在整数规划中提供了计算优势？
• RQ4 在固定维数下，集合补集运算是否会破坏整数点投影复杂性的保持性？
• RQ5 短生成函数能否高效表示如Q\P这样的非凸集的投影？

主要发现

• 具有三个交替量词（∃x∀y∃z）的整数规划即使在变量数固定的情况下也是NP-完全的。
• 对于三维多面体Q和P，其差集Q\P的垂直投影中整数点数量的计数问题是#P-完全的。
• 当P为区间而Q为矩形时，该NP-完全性结果依然成立，表明其困难性在低维情形下依然存在。
• 即使不等式数量无界，只要变量数固定，该问题仍为NP-完全。
• 凸多面体的补集（Q\P）可编码困难的计数问题，导致其投影在计算上不可行，尽管P和Q本身均为凸集。
• 该结果表明，Barvinok和Woods针对凸多面体投影的多项式时间算法无法推广至其补集。