[论文解读] The Computational Complexity of the Frobenius Problem

Shunichi Matsubara|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文通过证明决策版本的Frobenius问题在Karp归约下为$Σ_2^P$-完全，确立了其计算复杂性。证明过程包含两次Karp归约：从$\Pi_2^P$-完全的三维匹配变体归约至$\Pi_2^P$-完全的整数背包问题变体，再归约至Frobenius决策问题的补问题，从而首次为该问题的复杂性建立了非平凡的上下界。

ABSTRACT

In this paper, as a main theorem, we prove that the decision version of the Frobenius problem is Sigma_2^P-complete under Karp reductions.Given a finite set A of coprime positive integers, we call the greatest integer that cannot be represented as a nonnegative integer combination of A the Frobenius number, and we denote it as g(A). We call a problem of finding g(A) for a given A the Frobenius problem; moreover, we call a problem of determining whether g(A) >= k for a given pair (A, k) the decision version of the Frobenius problem, where A is a finite set of coprime positive integers and k is a positive integer. For the proof, we construct two Karp reductions. First, we reduce a 2-alternating version of the 3-dimensional matching problem, which is known to be Pi_2^P-complete, to a 2-alternating version of the integer knapsack problem. Then, we reduce the variant of the integer knapsack problem to the complement of the decision version of the Frobenius problem. As a corollary, we obtain the main theorem.

研究动机与目标

• 确定Frobenius问题决策版本的计算复杂性，该问题询问一组互质整数集合$A$的Frobenius数$g(A)$是否至少为给定值$k$。
• 解决Ramírez-Alfonsín提出的一个开放问题：Frobenius问题在Karp归约下是否为$Σ_2^P$-完全。
• 通过将问题复杂性与多项式阶层关联，首次为Frobenius问题的函数版本$F$ Frobenius提供非平凡的上下界。
• 通过从已知的$\Pi_2^P$-完全问题（特别是2-交替的三维匹配变体和2-交替整数背包问题）出发进行归约，分析该问题的结构。

提出的方法

• 从$\Pi_2^P$-完全问题$\Pi_2$3D Matching到一种称为$\Pi_2$Assoc Integer Knapsack的整数背包问题变体的Karp归约，该变体为整数背包问题的2-交替版本，捕捉了与Frobenius问题相关的存在量词与全称量词的逻辑交替。
• 将$\Pi_2$Assoc Integer Knapsack定义为整数背包问题的2-交替版本，以体现Frobenius问题中存在与全称量词交替的关键逻辑结构。
• 建立从$\Pi_2$Assoc Integer Knapsack到决策Frobenius问题补集$\text{coFrobenius}$的Karp归约，证明$\text{coFrobenius}$为$\Pi_2^P$-难。
• 证明$\text{coFrobenius}$属于$\Pi_2^P$，从而确立$\text{coFrobenius} \in \Pi_2^P$，并证明其为$\Pi_2^P$-完全。
• 通过对偶性推导出决策Frobenius问题的$\Sigma_2^P$-完全性，因为$\text{Frobenius} = \neg \text{coFrobenius}$，并利用此结果界定函数版本$F$ Frobenius的复杂性。
• 通过展示Frobenius问题存在伪多项式时间算法，分析其算法含义，表明其为弱$\Sigma_2^P$-难。

实验结果

研究问题

• RQ1 Frobenius问题的决策版本在Karp归约下是否为$\Sigma_2^P$-完全？
• RQ2 Frobenius问题能否归约至或从已知的$\Pi_2^P$-完全问题（如$\Pi_2$3D Matching或$\Pi_2$Assoc Integer Knapsack）归约？
• RQ3 在决策版本复杂性已知的前提下，Frobenius问题的函数版本$F$ Frobenius的最紧复杂性类是什么？
• RQ4 Frobenius问题存在伪多项式时间算法是否意味着其并非强$\Sigma_2^P$-难？
• RQ5 Frobenius问题是否可作为解决复杂性理论中重大开放问题（如$\mathsf{NP} = \Sigma_2^P$）的候选？

主要发现

• Frobenius问题的决策版本$\text{Frobenius}$被证明在Karp归约下为$\Sigma_2^P$-完全，解决了Ramírez-Alfonsín提出的一个开放问题。
• 补问题$\text{coFrobenius}$通过从新定义的$\Pi_2$Assoc Integer Knapsack（即整数背包问题的2-交替变体）出发的Karp归约，被证明为$\Pi_2^P$-完全。
• Frobenius问题的函数版本$F$ Frobenius为弱$\Sigma_2^P$-难，这是通过基于输入集合$A$导出的加权有向图上的最短路径计算构建的伪多项式时间算法所证明。
• 该问题被证明属于$\mathsf{D}_2^P$，本文推测Exact Frobenius可能为$\mathsf{D}_2^P$-完全，但该结论仍为开放问题。
• 伪多项式算法的存在表明该问题并非强$\Sigma_2^P$-难，暗示可能存在近似方案，尽管目前尚未发现FPTAS。
• 该结果首次为$F$ Frobenius提供了非平凡的上界，将其置于$\mathsf{F}\Delta_3^P$内，并为未来在近似与结构复杂性方面的研究开辟了新途径。